Przykłady zadań z minimum Zadanie 1 Niech X X ,..., będzie prostą

Przykłady zadań z minimum
Zadanie 1
Niech X 1 ,..., X n
będzie
prostą
próbą
losową
z
rozkładu
o
funkcji
gęstości
f ( x)  a 2 xe  ax dla x  0, gdzie a  0. Znaleźć statystykę dostateczną dla parametru a.
Odp.
lub
.
Zadanie 2
Niech X 1 ,..., X n będzie prostą próbą losową z rozkładu Pareto o funkcji gęstości
f ( x)  ae a x ( a1) dla x  e, gdzie a  0. Znaleźć statystykę dostateczną dla parametru a.
Odp.
.
Zadanie 3
Niech X 1 ,..., X n będzie prostą próbą losową z rozkładu zero-jedynkowego z nieznanym
parametrem
p
p( x)  p (1  p)
x
1 x
Odp.
(prawdopodobieństwem sukcesu) o funkcji prawdopodobieństwa
, x  0,1, gdzie 0  p  1. Znaleźć statystykę dostateczną dla parametru p.
lub
.
Zadanie 4
Niech X 1 ,..., X n będzie prostą próbą losową z rozkładu N (5,  2 ) . Znaleźć statystykę
dostateczną dla parametru  2 .
Odp.
.
Zadanie 5
Niech X 1 ,..., X n będzie prostą próbą losową z rozkładu o funkcji prawdopodobieństwa
P( X  x) 
e 2 a (2a) x
dla x  0,1,2,... gdzie a  0.
x!
parametru a.
Odp.
Zadanie 6
Niech X 1 ,..., X n
lub
Znaleźć statystykę dostateczną dla
.
będzie
prostą
próbą
losową
z
rozkładu
o
f ( x )  3e 3x dla x  0. Znaleźć statystykę dostateczną dla parametru  .
Odp.
lub
.
funkcji
gęstości
Zadanie 7
Znaleźć estymator metodą momentów parametru populacji w rozkładzie
a) dwupunktowym z nieznanym parametrem p
b) dwumianowym (Bernoulliego) z nieznanym parametrem p
c) Poissona z nieznanym parametrem 
d) geometrycznym z nieznanym parametrem p
e) wykładniczym z nieznanym parametrem  (rozkładem wykładniczym modeluje się np.
czas bezawaryjnej pracy urządzenia)
Zadanie 8
Znaleźć estymatory metodą momentów parametrów populacji w rozkładzie
a) gamma
b) beta
Odp. EMM[a] =
, EMM[b] =
c) normalnym
Zadanie 9
Niech X 1 ,..., X n
będzie
prostą
próbą
losową
z
rozkładu
o
funkcji
gęstości
f ( x)  a 2 xe  ax dla x  0, gdzie a  0. Znaleźć ENW[a].
Zadanie 10
Niech X 1 ,..., X n będzie prostą próbą losową z rozkładu Pareto o funkcji gęstości
f ( x)  ae a x ( a1) dla x  e, gdzie a  0. Znaleźć ENW[a].
Zadanie 11
Niech X 1 ,..., X n będzie prostą próbą losową z rozkładu zero-jedynkowego z nieznanym
parametrem
p
p( x)  p (1  p)
x
1 x
(prawdopodobieństwem sukcesu) o funkcji
, x  0,1, gdzie 0  p  1. Znaleźć ENW[p].
prawdopodobieństwa
Zadanie 12
Niech X 1 ,..., X n będzie prostą próbą losową z rozkładu N (5,  2 ) . Znaleźć ENW[  2 ].
Zadanie 13
Niech X 1 ,..., X n będzie prostą próbą losową z rozkładu o funkcji prawdopodobieństwa
P( X  x) 
e 2 a (2a) x
dla x  0,1,2,... gdzie a  0. Znaleźć ENW [a] .
x!
Odp. ENW[a] = =
Zadanie 14
Niech X 1 ,..., X n
będzie
prostą
próbą
losową
z
rozkładu
f ( x )  3e 3x dla x  0. Znaleźć ENW[  ]. Odp. ENW[  ] =
o
funkcji
.
gęstości