wyprowadzenie równania falowego

8. Fale elektromagnetyczne.
8.1.Wyprowadzenie równania falowego.
Własności operatorów.
( )
r r
∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ
div( gradϕ ) = ∇ ⋅ ∇ϕ = ∇ 2ϕ = Δϕ = 2 + 2 + 2
∂x
∂y
∂z
r r
r r
rot (gradϕ ) = ∇ × ∇ϕ = ∇ × ∇ ϕ = 0
123
1.
(
2.
)
0
Przykład:
r
Skoro
− gradV = E
r
r
⇒
− ∇V = E
r
r r
r r
− rot ( gradV ) = rotE = 0
⇔
− ∇ × ∇V = ∇ × E = 0
( )
więc
co oznacza, że pole
elektryczne jest bezwirowe.
iˆ
r r r r r ∂
div rotA = ∇ ⋅ ∇ × A = ∇
∂x
Ax
( )
3.
Przykład:
r
div rotE = 0
(
)
(
)
(
kˆ
∂
∂z
Az
ˆj
∂
∂y
Ay
)
r r r
∇⋅ ∇× E = 0
123
⇔
wynik jest wielkością skalarną.
pole elektryczne jest bezwirowe
0
Fala elektromagnetyczna w próżni.
r
divE = 0
r
rotB = 0
⇔
brak ładunków
⇔
brak prądu
r
r
dB
rotE = −
dt
(1)
r
r
dE
rotB = μ 0 ε 0
dt
(2)
Obliczamy rotację równania (1):
r
r r r
r ⎛ dB ⎞
d r r
Prawa strona: ∇ × ∇ × E = −∇ × ⎜⎜ ⎟⎟ = − ∇ × B
3
dt 12
⎝ dt ⎠
μ 0ε 0 dE
(
)
(
)
dt
Lewa strona:
(
)
(
)
r r r
r r r r
∇ × ∇ × E = −∇ 2 E + ∇ ⋅ ∇ ⋅ E
12
3
r
divE = 0
A więc:
r
d 2E
− ∇ 2 E = −μ 0ε 0 2
dt
czyli
r
d 2E
∇ 2 E = μ 0ε 0 2
dt
jest to ”część elektryczna” równania falowego.
Analogicznie dla równania (2):
r
r r r
r ⎛ dE ⎞
d r r
⎟ = μ 0ε
∇ × ∇ × B = μ 0 ε 0 ∇ × ⎜⎜
∇× E
⎟
3r
dt 12
⎝ dt ⎠
r dB
(
)
(
)
rotE = −
dt
r
r r r
d 2B
czyli ∇ × ∇ × B = − μ 0 ε 0 2
dt
r r r
r r r r
druga strona równania (2): ∇ × ∇ × B = −∇ 2 B + ∇ ⋅ ∇ ⋅ B
12
3
r
(
)
(
)
(
)
divB = 0
r
r
d 2B
∇ B = μ 0ε 0 2
dt
2
łącząc obie strony otrzymamy
to równanie jest „częścią
magnetyczną” równania falowego dla fali elektromagnetycznej w próżni.
1 d 2ξ
v 2 dt 2
Przypominając równanie 3-wymiarowej fali płaskiej:
∇ 2ξ =
zauważymy, że dla fali elektromagnetycznej w próżni
1
= μ 0ε 0
c2
⇒
c=
1
μ 0ε 0
8.2. Fala elektromagnetyczna w ośrodku – zależności pomiędzy prędkością,
współczynnikiem załamania (n), a stałymi przenikalności magnetycznej i
elektrycznej.
Równania fali dla ośrodka:
r
d 2E
∇ 2 E = μμ 0 εε 0 2
dt
r
r
d 2B
2
∇ B = μμ 0 εε 0 2
dt
zatem
1
= μμ 0 εε 0
v2
⇒
v=
1
μμ 0 εε 0
Bezwzględny współczynnik załamania fali elektromagnetycznej:
n=
c
= με
v
8.3. Energia fali elektromagnetycznej w próżni.
Założenie:
Fala rozchodzi się w kierunku osi OX:
Ex = Ez = 0; Ey = E
Bx = By = 0; Bz = B
E(x,t) = Em⋅cos(ωt-kx)
iˆ
r r
∂
∇× E =
∂x
0
B(x,t) = Bm⋅cos(ωt-kx)
dE y
dx
=−
A więc
dB z
dt
ˆj
∂
∂y
0
kˆ
∂B
∂B
∂
= iˆ z − ˆj z
∂z
∂y
∂x
123
Bz
0
dE y
dBz
= μ 0ε 0
dx
dt
A więc
E m sin (ωt − kx ) = + Bmω ⋅ sin (ωt − kx )
Em ω
=
Bm k
iˆ
r r
∂
∇× B =
∂x
0
−
⇒
ˆj
∂
∂y
Ey
Bm k sin (ωt − kx ) = μ 0 ε 0 E mω ⋅ sin (ωt − kx )
⇒
Bm μ 0 ε 0ω
=
Em
k
B
E
Czyli m = μ 0 ε 0 m
Em
Bm
⇒
Bm2
= μ 0ε 0
E m2
a więc
Em
=c
Bm
kˆ
∂E y
∂E y
∂
= kˆ
− iˆ
∂z
∂x 12
∂3
z
0
0
Energia całkowita gęstości energii pola E i B.
U = UE +UB =
ε0E2
2
B2
+
2μ 0
Skoro B 2 = E 2 μ 0 ε 0
⇒
U=
ε0E2
2
+
E 2 μ 0ε 0
= ε 0 E 2 - gęstość energii całkowitej, fali
2μ 0
elektromagnetycznej jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy pola E i B.
U=
ε0 B2
B2
B2
+
=
2 μ 0ε 0 2μ 0 μ 0
⇒
U=
B2
μ0
Dla ośrodka:
U = εε 0 E 2 ;
U=
E2
1
=
2
μμ 0 εε 0
B
B2
B2
⇒
μμ 0
μμ 0
= εε 0 E 2
Em
=v
Bm
⇒
8.4. Wektor Poyntinga.
(
r 1 r r
S=
E×B
μ0
)
⎡W ⎤
⎢ m2 ⎥
⎣ ⎦
wyraża szybkość przepływu energii przez jednostkową
powierzchnię. Wektory E i B są chwilowymi wartościami pola elektromagnetycznego w
rozpatrywanym punkcie przestrzeni.
Przykład 1:
Radiostacja o mocy P0 = 30 kW wysyła izotropowo falę elektromagnetyczną. Obliczyć
natężenie sygnału (moc/powierzchnia) odbieranego w odległości r = 10 km.
Średnia wartość S =
S =
1
μ0
EB =
1
μ0c
P0
⎡ μW ⎤
= 24 ⎢ 2 ⎥
2
4πr
⎣m ⎦
E2
E = c⋅B
bo
Pole E (t ) = E m2 sin 2 ωt
Średnia wartość E (t ) =
E m2
2
⇒
S =
1 E m2
μ0c 2
Ostatecznie: amplituda
Em =
1 μ 0 cP0
r
2π
amplituda
Bm , =
Em
c
⎡V ⎤
E m = 0,13⎢ ⎥
⎣m⎦
Bm = 4 ⋅ 10 −10 [T ] - pole B jest bardzo małe!
Przykład 2:
Założenia: j = const
r
B
r r
B
∫ o dl = μ 0 i
E - jednorodne
r r
i = ∫ j o dA gdzie
j
l
przewodnika
r r
r r
∫ B o dl = μ 0 ∫ j o dA
ΦS
E
B 2πr = μ 0 jπr 2
Czyli:
r
r
E =ρ⋅ j
Stąd S =
A – przekrój
⇒
B=
μ 0 jr
2
gdzie ρ - opór właściwy przewodnika
1
μ0
EB =
1
μ0
ρ
μ0 j 2r
2
=
ρ ⋅ j 2r
2
Wektor Poyntinga S ∼ j2
Strumień wektora Poyntinga ΦS :
r
r
Φ S = ∫ S o dF gdzie F = 2πrl – powierzchnia pobocznicy walca (przewodnika)
Φ S = S ⋅ 2πrl =
ρj 2 r
2
2πrl = ρj 2 π{
r 2l
obj . przew.
ΦS
⎡W ⎤
= ρ ⋅ j2 ⎢ 3 ⎥
V
⎣m ⎦
Moc:
P = Ui = i 2 R = j 2 A 2 ρ
Zatem
P
⎡W ⎤
= ρ ⋅ j2 ⎢ 3 ⎥
V
⎣m ⎦
l
= j2ρ {
A⋅l
A
obj . przew.
Strumień gęstości mocy fali elektromagnetycznej, wektora Poyntinga jest równy mocy
wydzielonej w przewodniku.
Falowód, wnęka rezonansowa.
h
B
•
•
•
•
•
•
•
•
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
E
Rura metalowa
Z prawa Faraday’a:
Wnęka rezonansowa
r r
dΦ B
E
∫ o dl = − dt
Z całkowania po konturze (linia przerywana) :
Stąd
E=−
1 dΦ B
h dt
Z prawa Amper’a:
⇒
E~
r r
E
∫ o dl = E ⋅ h
dΦ B
dt
r r
dΦ E
B
∫ o dl = μ 0ε 0 dt + μ 0 i
ale ponieważ ładunek nie przepływa, więc i = 0
zatem
r r
dΦ E
B
∫ o dl = μ 0ε 0 dt
stąd
B 2πr = μ 0 ε 0
dΦ E
dt
⇒
B=
μ 0ε 0 dΦ E
2πr dt
8.5. Widmo fali elektromagnetycznej.
Zakres widzialny: 450 ÷ 650 ⋅10-9 m (nm)
⇒
B~
dΦ E
dt
r
Czułość
oka [%]
Krzywa czułości oka jest cechą
indywidualną. Środek obszaru
widzialnego – ok. 550 nm
400
500 600
700 [μm]
Energia i pęd
Energia fali – wektor Poyntinga
r 1 r r⎡ W ⎤
S=
E × B⎢ 2 ⎥
μ0
⎣m ⎦
Pęd – wywieranie ciśnienia przez fale elektromagnetyczną:
Doświadczenia: Nicholas i Hull (1903) pomiar ciśnienia promieniowania.
Maxwell – fala elektromagnetyczna (~1870)
y
Płaska fala świetlna padająca na cienką płytę o dużym oporze
właściwym ρ.
E
FZ
B v
x
E = Em sin ωt
E y
B = Bm sin ωt
B x
- fala pada w kierunku osi Z
siła pola E = siła tłumienia
eE = bvu gdzie b – współczynnik tłumienia e.
stąd vu =
eE
prędkość elektronu
b
ruch oscylacyjny elektronu w środowisku „lepkim” (duże ρ). Częstość zmiany pola E ∼ vu
Składowa magnetyczna Fz = evB =
Z II zasady dynamiki:
e 2 EB
b
dp e
e 2 EB
= Fz =
dt
b
- pęd jest przekazywany każdemu
elektronowi płyty (a więc całej płycie).
Moc =
dU
dt
dU e e 2 EBc
=
dt
b
elektron.
dU e
⎛ eE ⎞
= Fv = (eE )⎜ ⎟
dt
⎝ b ⎠
⇒
⇐
E = B ⋅ c jest to równanie szybkości absorpcji energii przez jeden
dp e 1 dU e
=
dt
c dt
t
dpe 1 t dU e
∫0 dt = c ∫0 dt dt
⇒
pe =
Ue
c
pe – pęd przekazany jednemu elektronowi; Ue – energia zaabsorbowana przez jeden elektron.
Mnożąc te wielkości przez liczbę elektronów swobodnych otrzymujemy całkowity pęd i
całkowitą energię przekazaną płycie.
Doświadczenie Nicholsa i Hulla – wahadło torsyjne
F ∼ Θ siła jest proporcjonalna do kąta skręcenia
zawieszenie
wahadła
Przykład:
zwierciadła
Pada promieniowanie 10 W/cm2 przez 1 h.
U = 10 [W/cm2]⋅1 cm2⋅3600 s = 3,6⋅104 J
2U 2 ⋅ 3,6 ⋅ 10 4 J
p=
= 2,4 ⋅ 10 4 kg ⋅ m
=
8
s
m
c
3 ⋅ 10
s
p 2,4 ⋅ 10 −4
F= =
= 6,7 ⋅ 10 −8 N
t
3600
Wiązka światła