Fala elm_12.1

12. Fale elektromagnetyczne.
12.1.Wyprowadzenie równania falowego.
Własności operatorów.
( )
r r
∂ 2ϕ ∂ 2ϕ ∂ 2ϕ
div( gradϕ ) = ∇ ⋅ ∇ϕ = ∇ 2ϕ = ∆ϕ = 2 + 2 + 2
∂x
∂y
∂z
r r
r r
rot ( gradϕ ) = ∇ × ∇ϕ = ∇ × ∇ ϕ = 0
123
1.
(
2.
)
0
Przykład:
r
Skoro
− gradV = E
r
r
⇒
− ∇V = E
r
r r
r r
− rot ( gradV ) = rotE = 0
⇔
− ∇ × ∇V = ∇ × E = 0
( )
więc
co oznacza, że pole
elektryczne jest bezwirowe.
iˆ
r
r r r
r ∂
div rotA = ∇ ⋅ ∇ × A = ∇
∂x
Ax
( )
3.
Przykład:
r
div rotE = 0
(
)
(
)
(
kˆ
∂
∂z
Az
ˆj
∂
∂y
Ay
)
r r r
∇⋅ ∇× E = 0
123
⇔
wynik jest wielkością skalarną.
pole elektryczne jest bezwirowe
0
Fala elektromagnetyczna w próżni.
r
divE = 0
⇔
brak ładunków
r
divB = 0
⇔
brak prądu
r
r
dB
rotE = −
dt
(1)
r
r
dE
rotB = µ 0 ε 0
dt
(2)
Obliczamy rotację równania (1):
r
r r r
r  dB 
d r r
 = − ∇× B
Prawa strona: ∇ × ∇ × E = −∇ × 

3
dt 12
 dt 
µ 0ε 0 dE
(
)
(
)
dt
Lewa strona:
(
)
(
)
r r r
r r r r
∇ × ∇ × E = −∇ 2 E + ∇ ⋅ ∇ ⋅ E
12
3
r
divE = 0
A więc:
r
d 2E
− ∇ 2 E = − µ 0ε 0 2
dt
czyli
r
d 2E
∇ 2 E = µ 0ε 0 2
dt
jest to ”część elektryczna” równania falowego.
Analogicznie dla równania (2):
r
r r r
r  dE 
d r r
 = µ 0ε
∇ × ∇ × B = µ 0ε 0 ∇ × 
∇× E

3r
dt 12
 dt 
r dB
(
)
(
)
rotE = −
dt
r
r r r
d 2B
czyli ∇ × ∇ × B = − µ 0ε 0 2
dt
r r r
r r r r
druga strona równania (2): ∇ × ∇ × B = −∇ 2 B + ∇ ⋅ 1
∇2
⋅3
B
r
(
)
(
)
(
)
divB = 0
r
r
d 2B
∇ B = µ 0ε 0 2
dt
2
łącząc obie strony otrzymamy
to równanie jest „częścią
magnetyczną” równania falowego dla fali elektromagnetycznej w próżni.
1 d 2ξ
v 2 dt 2
Przypominając równanie 3-wymiarowej fali płaskiej:
∇ 2ξ =
zauważymy, że dla fali elektromagnetycznej w próżni
1
= µ 0ε 0
c2
⇒
c=
1
µ 0ε 0
12.2. Fala elektromagnetyczna w ośrodku – zależności pomiędzy
prędkością, współczynnikiem załamania (n), a stałymi przenikalności
magnetycznej i elektrycznej.
Równania fali dla ośrodka:
r
d 2E
∇ 2 E = µµ 0 εε 0 2
dt
r
r
d 2B
2
∇ B = µµ 0 εε 0 2
dt
zatem
1
= µµ 0εε 0
v2
⇒
v=
1
µµ 0εε 0
Bezwzględny współczynnik załamania fali elektromagnetycznej:
n=
c
= µε
v
12.3. Energia fali elektromagnetycznej w próżni.
Założenie:
Fala rozchodzi się w kierunku osi OX:
Ex = Ez = 0; Ey = E
Bx = By = 0; Bz = B
E(x,t) = Em⋅cos(ωt-kx)
iˆ
r r
∂
∇× E =
∂x
0
B(x,t) = Bm⋅cos(ωt-kx)
dE y
dx
=−
A więc
dB z
dt
ˆj
∂
∂y
0
kˆ
∂B
∂B
∂
= iˆ z − ˆj z
∂z
∂y
∂x
123
Bz
0
dE y
dBz
= µ 0ε 0
dx
dt
A więc
Czyli
E m sin (ωt − kx ) = + Bmω ⋅ sin (ωt − kx )
Em ω
=
Bm k
iˆ
r r
∂
∇× B =
∂x
0
−
⇒
ˆj
∂
∂y
Ey
Bm k sin (ωt − kx ) = µ 0 ε 0 E mω ⋅ sin (ωt − kx )
⇒
Bm µ 0 ε 0ω
=
Em
k
Bm
E
= µ 0ε 0 m
Em
Bm
⇒
Bm2
= µ 0ε 0
E m2
Energia całkowita gęstości energii pola E i B.
a więc
Em
=c
Bm
kˆ
∂E y
∂E y
∂
= kˆ
− iˆ
∂z
∂x 12
∂3
z
0
0
U = UE +UB =
ε0E2
2
+
Skoro B 2 = E 2 µ 0 ε 0
B2
2µ 0
⇒
U=
ε0E2
2
+
E 2 µ 0ε 0
= ε 0 E 2 - gęstość energii całkowitej, fali
2µ 0
elektromagnetycznej jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy pola E i B.
U=
ε0 B2
B2
B2
+
=
2 µ 0ε 0 2µ 0 µ 0
⇒
U=
B2
µ0
Dla ośrodka:
U = εε 0 E 2 ;
1
E2
=
2
µµ 0 εε 0
B
U=
⇒
B2
µµ 0
⇒
Em
=v
Bm
B2
µµ 0
= εε 0 E 2