EiM13

Uogólnione prawo Ampera
r r
∫ B ⋅ d l = µoI
Prawo Ampera
B E
B
E
Pomiędzy okładkami
kondensatora nie przepływa
ładunek, jednak kondensator
przewodzi prąd zmienny.
Zastosowanie koncepcji
prądu przesunięcia Iprz
pozwala utrzymać zasadę
ciągłości prądu.
B
I
Równania Maxwella
I
r
r
∫ B ⋅ dl = µ (I + I
o
Prąd przesunięcia Iprz – nie jest
związany z przemieszczaniem
ładunków elektrycznych, lecz ze
zmianami strumienia natęŜenia pola
elektrycznego ΦE. Zmiany tego
strumienia generują pole
magnetyczne.
Iprz
prz
Prawo Gaussa dla pola elektrycznego
)
wirowe pole elektryczne jest wytwarzane w wyniku
zmian strumienia pola magnetycznego w czasie
r r
 dΦ

∫ B ⋅ dl = µµo  εεo dtE + I 
r
dB
dt
r r
∫ E ⋅ dl = −
E
Uogólnione prawo Ampere’a
wirowe pole magnetycznego jest wytwarzane
w wyniku przepływu prądu elektrycznego lub
zmian strumienia pola elektrycznego w czasie
∫ B ⋅ dS = 0
B
Prawo indukcji Faradaya
dΦE
= εεo
dt
o
E
wiąŜe wypadkowy strumień magnetyczny przez
powierzchnię zamkniętą z faktem nieistnienia
odosobnionych biegunów magnetycznych
(nie istnieją monopole magnetyczne)
j
r
dE
dt
r r
∂ΦE 
+ I
∂t


∫ B⋅ dl = µµ  εε
o
∂ΦB
∂t
o
B
Indukujące się pola elektryczne i magnetyczne
który jest źródłem zmiennych pól magnetycznego i
↑
B↑
elektrycznego, które z kolei przemieszczają się w przestrzeni w
postaci fali elektromagnetycznej
Fala elektromagnetyczna
Transformator
r r
r r
dΦ
∫ E ⋅ d l = − dtB
Oscylator LC wytwarza sinusoidalnie zmienny prąd elektryczny,
∫ B⋅ d l = µ ε
o o
↑
E↑
E
dΦE
dt
B
E
E
B
B
źródło
energii
Odległy punkt
Linia
tranmisyjna
Antena
dipolowa
Oscylator LC
Zmienne w czasie
pole magnetyczne
wytwarza wirowe
pole elektryczne
Prawo indukcji Faradaya
ˆi
∂
∂x
Ex
ˆj
∂
ˆ
k
∂
ˆj
∂
k̂
∂
Bx
By
Bz

 ∂E x
 ∂t

µµ 0 εε 0 
+ jx



∂Ey
r
E(t) = Ey (t) ĵ

 ∂E y
 ∂t

µµ 0 εε 0 
+ jy





 ∂E z
 ∂t

µµ 0 εε 0 
+ jz



∂t
r
r
∂E
rot B = µµ0εε0
∂t
rozchodzi się w kierunku osi x
∂x
ˆj
k̂
r
∂
rot E =
0
0 = k̂
0
Ey
î
≠0
∂Ey
r
r
∂B
rot E = −
∂t
∂x
∂B y
∂B
∂B
 + ˆj  ∂B x − ∂Bz  + k̂  y − ∂Bx 
= î  z −
 ∂z
 ∂x
y
∂z 
∂x 
∂y 
∂x ∂y ∂z
14243
1∂4

243
14243

B
Zmienne w czasie
pole elektryczne
wytwarza wirowe
pole magnetyczne
Zał: Zmienna w czasie składowa Ey
 ∂E
 ∂E y ∂E 
∂E y 
x 
 + ˆj ∂E x − ∂E z  + ˆ

= ˆi  z −
 ∂z
 k ∂x − ∂y 

∂
y
∂
z
∂
x
∂y ∂z


14243
14243 14243
Ey Ez
∂B y
∂Bx
∂Bz
−
−
−
∂t
∂t
∂t
î
∂
r
r
∂B
rot E = −
∂t
Równanie fali elektromagnetycznej
r
r
∂B
rot E = −
∂t
r
r

∂E r 
rot B = µµ 0  εε 0
+ j 
∂t


r r r
rot B = ∇ × B =
q
∫ E ⋅ dS = εε
E
q
Prawo Gaussa dla pola magnetycznego
Wytwarzanie fali elektromagnetycznej
r r r
rotE = ∇ × E =
E
wiąŜe wypadkowy strumień elektryczny
przez powierzchnię zamkniętą
z ładunkiem zawartym wewnątrz tej powierzchni
(źródłem pola elektrycznego są ładunki elektryczne)
∂E y
∂x
0
=−
∂x
{
∂B z
∂t
∂y
=0
∂Ey
∂z
=0
r
r
 ∂E r 
rot B = µµo  εεo
+ j 
∂t


∂E y
−
∂E y
≠0
î
r
∂
rot B =
∂x
∂B z
∂t
0
−
ˆj
k̂
0
0 = − ˆj
0 Bz
∂E y
∂B z
= µµ o εε o
∂x
∂t
∂B z
∂x
{
µµ o εε o
∂E y
∂t
Równanie fali elektromagnetycznej
∂E y
∂x
∂ 2Ey
∂x
2
=−
=−
∂  ∂Bz 


∂t  ∂x 
∂B z
∂t
⇔
= µµoεεo
równanie falowe dla
pola magnetycznego
−
Równanie falowe (pole elektryczne)
∂ 2E y
∂E y
∂B z
= µµ o εε o
∂x
∂t
∂ 2E y
∂x 2
∂2Ey
∂t 2
 2π

Ey (x, t ) = E y0 sin  x − ωt + ϕ0 
λ


równanie falowe dla
pola elektrycznego
∂t 2
= µµoεεo
Czasowe zmiany natęŜenia pola
elektrycznego w określonym punkcie
przestrzeni 2πx/λ = const
∂2Bz
∂  ∂Ey 
∂2Bz


=
−
µµ
εε
=
µµ
εε
o o
o o
∂x 2
∂t  ∂x 
∂t 2
Ey
Przestrzenne zmiany natęŜenia pola
elektrycznego w określonej chwili czasu
ωt = const
Ey
ω t [rad]
0,0
2πx/λ
2π λ [rad]
0,0
Rozchodzenie się w przestrzeni pól elektrycznego i magnetycznego jest
moŜliwe tylko wówczas, gdy pola te zmieniają się niejednostajnie w czasie
-1
-1
Równanie fali elektromagnetycznej
Zestawienie zaleŜności czasowo-przestrzennych
∂ Bz
∂B
= µµoεεo 2 z
∂x 2
∂t
2
2
Fala elektromagnetyczna, która rozchodzi się w kierunku
dodatnich wartości osi x
Ex = 0
 2π

Bz (x, t ) = Bz0 sin  x − ωt + ϕ0 
λ

Czasowe zmiany indukcji pola magnetycznego
w określonym punkcie przestrzeni
2πx/λ = const
Bz
Przestrzenne zmiany indukcji pola
magnetycznego w określonej chwili czasu
ωt = const
Bz
ω t [rad]
0,0
-1
0,0
2πx/
2π / λ [rad]
-1
Bx = 0
 2π

Ey = Ey0 sin  x − ωt x ≤ vt
λ

Ez = 0
By = 0
 2π

Bz = Bz0 sin  x − ωt 
λ

dla x≤vt
http://www.walter-fendt.de/ph11e/emwave.htm
Prędkość fali elektromagnetycznej
∂ Ey
2
∂x 2
∂ Ey
2
= µµoεεo
 2π

Ey = Ey0 sin  x − ωt
λ

∂t 2
2
 2π 
 2π

 2π

− Ey 0   sin  x − ωt = −µµo εεo E y0ω2 sin  x − ωt
λ
λ

 λ

Prędkość fali elektromagnetycznej zaleŜy od właściwości
elektrycznych i magnetycznych ośrodka w jakim się porusza.
W ośrodku dielektrycznym:
v=
1
c
=
µµoεεo
µε
Fala elektromagnetyczna rozchodzi się w próŜni (ε=1; µ=1)
z prędkością
2
 2π 
2
  = µµoεεoω
λ
1
ω 
=  λ
µµoεεo  2π 
Prędkość fali elektromagnetycznej
2
λν = v
1
v=
µµoεεo
c=
1
µ oε o
2

T ⋅ m 
C 
 8.9⋅10−12

c =  4π ⋅10−7
2 
A 
N ⋅ m 

−
1
2
= 299 792 458
m
m
≈ 3 ⋅108
s
s
Wektor Poyntinga
Propagacja fali elektromagnetycznej
określa szybkość przepływu energii fali elektromagnetycznej przez
jednostkową powierzchnię
B
E
[Sr ] = 1m1J1s = 11mW
r 1 r r
S = E× B
µo
2
2
Wektor Poyntinga wyznacza kierunek propagacji
fali elektromagnetycznej
Punktowe źródło
światła emituje
fale izotropowo.
W odległości r od
źródła o mocy Pźr
natęŜenie fali ma
wartość:
S
NatęŜenie fali definiuje się:
 energia 
I = Sśr = 

 powierzchnia ⋅ czas śr
1 E02
I=
cµ0 2
Pojedyncza fala
elektromagnetyczna zawiera
sinusoidalnie zmienne pola:
elektryczne i magnetyczne
(o zgodnej fazie)
I=
Zmiany pola
elektrycznego
Pole magnetyczne
jest prostopadłe
do pola
elektrycznego
Fala elektromagnetyczna
jest falą poprzeczną kierunek propagacji jest
prostopadły do kierunku
drgań obydwu pól
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html
Fale radiowe
częstotliwość [Hz]
1017
1015
1013
1011
109
107
105
Fala elektromagnetyczna
posiada właściwość
przenoszenia energii od
punktu do punktu
Rozchodzi się równieŜ w
próŜni!
Pźr
4πr 2
Widmo fal elektromagnetycznych
1019
Zmiany pola
magnetycznego
103
101
Zaliczamy do nich: mikrofale, fale ultrakrótkie ; fale radiowe krótkie,
średnie i długie.
Wykorzystywanie: radio, telewizja, radar.
promienie γ
nadfiolet
promienie X
10-11
10-9
podczerwień
widzialne
10-7
fale radiowe
częstotliwości
akustyczne
mikrofale
10-5
10-3
10-1
101
103
105
107
długość fali [m]
0.01 nm
1 nm
1 mm
1 cm
1m
1 km
λ ν = c = 3 ⋅108 m / s
400 nm
760 nm
Elektryczna antena dipolowa
Wskutek rozwoju radiotechniki zamieniono
generatory iskrowe na generatory drgań nie
zanikających.
λ/2
Zakończenie kabla koncentrycznego składające
się z dwóch drutów przewodzących
(ustawionych jak na rysunku) zwane jest
elektryczną anteną dipolową.
Emitowana (detektowana) fala
elektromagnetyczna ma długość λ/2.
Pole elektryczne wytwarzane przez antenę dipolową
http://en.wikipedia.org/wiki/Dipole_antenna
Prototypem odbiornika
radiowego jest aparatura
Heinrich'a Hertz'a, ta sama,
dzięki której dokonał
odkrycia fal radiowych.
Kondensator w tym obwodzie zastąpiono dwoma prętami metalowymi,
rozdzielonymi przerwą iskrową, w cewce indukowany jest prąd. Wówczas
gdy napięcie w obwodzie uzyska odpowiednio duŜą wartość - w szczelinie
nadajnika pojawia się iskra, a w obwodzie powstają drgania gasnące,
generujące falę radiową. Detekcja tych fal dokonywana jest w odbiorniku
zrobionym z pętli drutu. Fala elektromagnetyczna wymusza indukowanie
prądu i przeskok iskry w szczelinie odbiornika.
Schemat transmisji radiowej
Długość przewodu
anteny
dobiera się tak, by
powstała
w nim fala stojąca
ze strzałką
natęŜenia prądu w
dolnym jego końcu
i węzłem natęŜenia
w górnym końcu
Najczęściej przy
przesyłaniu informacji
(np. w radiofonii)
wykorzystywany jest
sygnał analogowy. KaŜda
stacja radiowa posiada
generator, który
wytwarza fale
elektromagnetyczną
o określonej
częstotliwości
przydzielony danej stacji.
Nazwana jest ona falą
nośną, na którą zostają
nałoŜone informacje
w postaci sygnału
analogowego (np.
dźwięku w postaci
zmiennego przebiegu
napięcia). Proces ten
nazywany jest modulacją.
Reguła śruby prawoskrętnej
sygnał modulujący
wikipedia
Modulacja
Reguła śruby prawoskrętnej ta jest stosowana przy ustalaniu kierunku
iloczynu wektorowego.
W celu określenia zwrotu wektora
r r v
c = a×b
modulacja amplitudowa
obracamy wektor a po najmniejszym kącie tak, aby jego zwrot pokrył się
ze zwrotem wektora b
modulacja częstotliwościowa
r
c
JeŜeli zagięte palce
wskazują kierunek
obrotu, to kciuk
pokazuje zwrot
wektora c.
r
c
Alternatywny sposób
zobrazowania reguły
śruby prawoskrętnej
r
a
r
b
r
b
r
a