j - Budowa Maszyn i Zarządzanie Produkcją

ZESZYTY
Nr 2
NAUKOWE P OLI TECHNI KI P OZNAŃSKIEJ
Budowa Maszyn i Zarządzanie Produkcją
2005
AGNIESZKA FRASKA
WYZNACZANIE
NIESTACJONARNYCH PÓL TEMPERATURY –
PORÓWNANIE METOD NUMERYCZNYCH W OBSZARACH 2D
W artykule porównano dokładność metod numerycznych. Jako przykłady testowe wykorzystano dwuwymiarowe zagadnienia początkowo-brzegowe mające dokładne rozwiązania. Porównano dwie różne wersje metody kolokacji brzegowej. Pierwsza z nich to metoda źródeł pozornych,
w której jest wykorzystana metoda kolokacji brzegowej i metoda rozwiązań podstawowych. Druga
jest oparta na transformacji Laplace’a oraz na metodzie rozwiązań podstawowych.
Na podstawie otrzymanych wyników można stwierdzić, że metoda oparta na transformacji
Laplace’a jest lepsza pod względem dokładności niż metoda źródeł pozornych.
Słowa kluczowe: niestacjonarne pole temperatury, metoda kolokacji brzegowej, transformacja
Laplace’a, metoda źródeł pozornych
1. WPROWADZENIE
W wielu zagadnieniach technicznych istotną kwestią jest umiejętność wyznaczania niestacjonarnych (zależnych od czasu) pól temperatury. Problem tego
typu występuje między innymi przy chłodzeniu odlewu. Z tego powodu zajmiemy się niektórymi metodami wyznaczania niestacjonarnego pola temperatury
w obszarze dwuwymiarowym oraz badaniem dokładności tych metod.
Jeśli wewnątrz rozpatrywanego obszaru nie występują źródła ciepła, to
zmienne w czasie pole temperatury opisuje równanie różniczkowe nazywane
równaniem przewodzenia ciepła:
 ∂ 2t
α 
 ∂x
2
+
∂ 2 t  ∂t
=
,
∂y 2  ∂τ
(1)
(
)
gdzie t [K] jest temperaturą, τ [s] – czasem, α = λ c p ρ , przy czym
[
]
c p [J (kg ⋅ K )] jest ciepłem właściwym materiału, ρ kg m 3 − gęstością mate-
A. Fraska
6
riału, a λ [W (m ⋅ K )] − współczynnikiem przewodzenia ciepła zależnym od
rodzaju materiału.
Równanie (1) rozwiązuje się z warunkiem początkowym
t ( x, y , τ ) = t p ( x , y )
τ =0
dla
(2)
oraz warunkami brzegowymi
t ( xb , y b , τ ) = g ( x b , y b ,τ )
na
Γ,
(3)
gdzie t p (x, y ) jest znaną temperaturą początkową, g ( xb , y b , τ ) − znaną temperaturą w punktach brzegowych (x b , y b ) , Γ − brzegiem rozważanego obszaru.
Równanie różniczkowe (1) z warunkiem początkowym (2) oraz warunkiem
brzegowym (3) jest sformułowaniem tzw. problemu początkowo-brzegowego.
Rozwiązanie analityczne problemów początkowo-brzegowych tego typu jest
możliwe tylko dla prostych geometrii obszarów (prostokąt, okrąg itp.) z prostymi postaciami funkcji występujących w warunku początkowym i brzegowym.
Obecnie z reguły stosuje się w tym celu metody numeryczne, z których najpopularniejsze są metoda różnic skończonych i metoda elementów skończonych.
Niżej zastosujemy dwie mniej popularne metody. Pierwsza z nich to metoda
źródeł pozornych, w której jest wykorzystana metoda kolokacji brzegowej
i metoda rozwiązań podstawowych. Metodę tę będziemy w dalszym ciągu oznaczać jako BCMFS. Druga z tych metod należy do grupy metod bezsiatkowych
i jest oparta na transformacji Laplace’a oraz na metodzie rozwiązań podstawowych (BCMLT). Celem demonstracji dokładności tych metod rozwiążemy problemy początkowo-brzegowe, które mają dokładne rozwiązania.
2. PRZYKŁADY TESTOWE
Przykład 1
Rozważmy pole temperatury w prostokątnym obszarze o wymiarach 2a × 2b .
Niech w chwili początkowej temperatura prostokątnego walca t wynosi 0.
Następnie na brzegach prostokąta przykładamy temperaturę t = −t 0 i chłodzimy
prostokąt do tej temperatury [3].
W celu wyznaczenia pola temperatury należy rozwiązać równanie bezwymiarowe:
∂ 2θ ∂ 2θ ∂θ
+
=
∂X 2 ∂Y 2 ∂T
z warunkiem początkowym
w obszarze 0 < X < 1,
0<Y < E
(4)
Wyznaczanie niestacjonarnych pól temperatury...
θ =0
dla
T =0,
0 ≤ X ≤ 1,
7
0≤Y ≤ E
(5)
oraz z warunkami brzegowymi:
θ = −1
dla
T >0,
X = 1,
0≤Y ≤ E ,
(6)
θ = −1
dla
T >0,
Y = E, 0 ≤ X ≤ 1 ,
(7)
∂θ
=0
∂X
dla
T >0,
X = 0,
0≤Y ≤ E ,
(8)
∂θ
=0
∂Y
dla
T >0,
Y = 0,
0 ≤ X ≤1,
(9)
gdzie θ − bezwymiarowa temperatura, T − bezwymiarowy czas (liczba Fouriera), X i Y − bezwymiarowe współrzędne kartezjańskie.
Dokładne rozwiązanie problemu początkowo-brzegowego (4−9) ma postać:
∞
(− 1)m+ n + 2 cos(2m − 1) πX  cos(2n − 1) πEY 
∞
θ = −1 + ∑
∑
m =1
n =1

2 

(2m − 1)(2n − 1)
2 
×
(10)

π T
2
2
× exp− (2m − 1) + (2n − 1) E 2
.
4 

[
]
2
Przykład 2
Rozpatrujemy zagadnienie ogrzewania nieskończonego walca kołowego o
promieniu podstawy r = r0 , którego temperatura początkowa równa się zeru, a
na jego powierzchni utrzymuje się temperatura U 0 = const [1].
Powyższy problem opisuje równanie bezwymiarowe:
∂ 2θ 1 ∂θ ∂θ
+
=
∂R 2 R ∂R ∂T
w obszarze
0 ≤ R ≤ 1,
0 ≤ ϕ ≤ 2π
(11)
z warunkiem początkowym
θ =0
dla
T = 0,
0 ≤ R ≤1
(12)
R =1,
(13)
i warunkami brzegowymi
θ =1
∂θ
=0
∂ϕ
dla
dla
T > 0,
T > 0, 0 ≤ R ≤ 1,
ϕ =0,
(14)
A. Fraska
8
∂θ
=0
∂ϕ
dla
T > 0,
0 ≤ R ≤ 1,
ϕ=
π
,
2
(15)
gdzie θ − bezwymiarowa temperatura, T − bezwymiarowy czas (liczba Fouriera), R i ϕ − bezwymiarowe współrzędne walcowe.
Dokładne rozwiązanie problemu początkowo-brzegowego (11−15) ma postać:
∞
θ ( R, T ) = 1 − 2∑ exp(− µ n2 T )
n =1
J 0 ( µ n R)
,
µ n J1 (µ n )
(16)
gdzie µ n są dodatnimi pierwiastkami równania J 0 ( µ ) = 0 .
3. ZASTOSOWANIE METODY ŹRÓDEŁ POZORNYCH
DO WYZNACZANIA NIEUSTALONEGO POLA TEMPERATURY
Metoda ta jest szczegółowo omówiona w pracy [5]. Jej istota sprowadza się
do założenia istnienia skoncentrowanych źródeł ciepła (tzw. źródła pozorne)
działających poza rozpatrywanym obszarem − w punktach (ξ i ,η i ) . Wydajność
tych źródeł Wi k zmienia się skokowo w czasie. Wówczas wzór na temperaturę
wewnątrz rozważanego obszaru, spowodowaną działaniem źródeł pozornych i
będącą jednocześnie rozwiązaniem zagadnienia początkowo-brzegowego, ma
postać:
N
M
θ ( X , Y , T ) = ∑∑ Wi k G ( X − ξ i , Y − η i , T − Tk )η (T − Tk ) ,
(17)
i =1 k = 0
gdzie Wi k są nieznanymi współczynnikami, które należy wyznaczyć, korzystając z warunków brzegowych, oraz
G=
[
] [
2
2
1   ( X − ξ i ) + (Y − η i )
Ei
−

4 π  
T − Tk

[
] [(
] + Ei − [(X + ξ ) ]+ [(Y − η ) ] +
2


 ( X − ξ )2 + Y + η 2
i
i
+ Ei −

T − Tk

∞
gdzie Ei(− z ) = −
1
∫ u exp(−u )du .
z
2
i


i
T − Tk


)] + Ei − [(X + ξ ) ]+ [(Y + η ) ],
2
i




2
i
T − Tk


(18)
Wyznaczanie niestacjonarnych pól temperatury...
9
Rozwiązanie dane w postaci (17) spełnia równanie przewodnictwa ciepła, warunek początkowy i warunki symetrii. Po podstawieniu rozwiązania (17) do warunków brzegowych w N punktach ( X 0j , Y j0 ) i w chwilach czasowych Tk
otrzymamy M układów N równań na wyznaczenie M × N nieznanych wartości
Wi k :
N
l −1
∑∑ W
i
k
(
)
G ( X 0j − ξ i , Y j0 − η i , Tl − Tk )η (Tl − Tk ) = θ X 0j , Y j0 , Tl ,
i =1 k = 0
l = 1,2,..., M , j = 1,2,..., N ,
(
(19)
)
gdzie θ X 0j , Y j0 , Tl jest znaną bezwymiarową temperaturą w punktach brzego-
(
)
wych X 0j , Y j0 .
4. ZASTOSOWANIE TRANSFORMACJI LAPLACE’A ORAZ METODY
ROZWIĄZAŃ PODSTAWOWYCH DO WYZNACZENIA NIEUSTALONEGO
POLA TEMPERATURY
Po wykonaniu transformacji Laplace’a na równaniu rządzącym (4) i wykorzystaniu warunku początkowego (5) otrzymujemy:
 ∂2
∂2

+
 ∂X 2 ∂Y 2

~
~
θ ( X , Y , p ) = pθ ( X , Y , p ) w obszarze 0 < X < 1, 0 < Y < E , (20)


gdzie
∞
~
θ ( X , Y , p ) = ∫ exp(− pT )θ ( X , Y , T )dT ,
(21)
0
przy czym p jest parametrem transformacji Laplace’a.
Po transformacji warunki brzegowe (6−9) przyjmują postać:
~
1
p
dla
X = 1,
0≤Y ≤ E ,
(22)
~
1
p
dla
Y = E,
0 ≤ X ≤1,
(23)
θ =−
θ =−
A. Fraska
10
~
∂θ
=0
∂X
~
∂θ
=0
∂Y
dla
X = 0,
0≤Y ≤ E ,
(24)
dla
Y = 0,
0 ≤ X ≤1.
(25)
Zastosowanie transformacji Laplace’a pozwala sprowadzić problem początkowo-brzegowy wyrażony równaniem rządzącym (4), warunkiem początkowym
(5) oraz warunkami brzegowymi (6−9) do problemu brzegowego wyrażonego
równaniem (20) oraz warunkami brzegowymi (22−25). Jedną z możliwości rozwiązania tak określonego problemu brzegowego jest zastosowanie metody rozwiązań podstawowych. Rozwiązanie podstawowe równania (20) ma postać:
~
θ p ( X , Y , ξ ,η ) =

1
2
2
K 0  p (x − ξ ) + ( y − η )
2π

[(
)] ,
1
2
(26)

przy czym K 0 jest zmodyfikowaną funkcją Bessela, a współrzędne (ξ ,η ) są
współrzędnymi tzw. punktu źródłowego leżącego poza rozważanym obszarem.
Po wykorzystaniu warunku symetrii rozwiązanie problemu brzegowego możemy zapisać w postaci superpozycji rozwiązań podstawowych:
~
θ =
1
2π
N
∑ β ( p )K ( p, X , Y , ξ
j
j,
η j ),
(27)
j =1
gdzie β j ( p ) są chwilowo nieznanymi funkcjami parametru transformacji, podczas gdy

K p, X , Y , ξ j ,η j = K 0  p X − ξ j

(
)

+ K0  p X + ξ j


+ K0  p X + ξ j

[ ((
) + (Y − η ) )]
[ ((
) + (Y + η ) )]
2
j
2
2
j
2
2
j
1
2


 + K0  p X − ξ j


1

2


1
2
[ ((
2
) + (Y − η ) )]  +
[ ((

) + (Y + η ) )]  +
2
2
j
1
2

(28)
otrzymano w wyniku odpowiedniego „lustrzanego odbicia” rozwiązania podstawowego od osi X = 0 oraz Y = 0 . Funkcja K p, X , Y , ξ j ,η j została dobrana
(
)
w taki sposób, aby warunki brzegowe (24−25) wynikające z symetrii zagadnienia były spełnione w sposób ścisły, podobnie jak równanie różniczkowe (20).
Wyznaczanie niestacjonarnych pól temperatury...
11
Problem polega na wyznaczeniu funkcji β j ( p ) , a następnie na odwróceniu
transformaty Laplace’a, czyli wyznaczeniu pola temperatury θ ( X , Y , T ) . Do
dyspozycji mamy warunki brzegowe (22−23). Po podstawieniu rozwiązania (27)
do tych warunków otrzymujemy:
N
∑ β ( p )K ( p, X , Y , ξ
j
j,
η j )= −
2π
p
dla
X = 1,
0≤Y ≤ E ,
(29)
η j )= −
2π
p
dla
Y = E,
0 ≤ X ≤1.
(30)
j =1
N
∑ β ( p )K ( p, X , Y , ξ
j
j,
j =1
Ponieważ ścisłe wyznaczenie funkcji β j ( p ) wydaje się zagadnieniem trudnym,
obierzemy skończoną liczbę parametrów transformacji p1 , p 2 ,.., p M . Wówczas
z równań (29−30) otrzymujemy:
N
∑β
j =1
(
jk K
(p
k
)
, X (0 ) , Y (0 ) , ξ j , η j = −
2π
,
pk
k = 1,2,..., M ,
(31)
)
gdzie X (0 ) ,Y (0 ) są punktami brzegowymi oraz
β jk = β j ( p k )
(32)
jest macierzą N × M , której wartości należy wyznaczyć.
W tym celu na brzegach X = 1, 0 ≤ Y ≤ E i Y = E , 0 ≤ X ≤ 1 obieramy
(
)
łącznie N punktów kolokacji X i(0 ) , Yi (0 ) . Pozwala to na uzyskanie układu
N × M równań z niewiadomymi β jk w postaci:
N
∑β
j =1
jk K
(p
k
)
, X i(0 ) , Yi (0 ) , ξ j , η j = −
k = 1,2,..., M ,
2π
,
pk
(33)
i = 1,2,..., N .
Powyższy układ równań można rozwiązać metodą eliminacji Gaussa. Mając
wyznaczone współczynniki β jk , celem wyznaczenia pola temperatury należy
obliczyć odwrotną transformatę Laplace’a.
Obecnie istnieje wiele metod numerycznego odwracania transformacji Laplace’a, których opis można znaleźć w przeglądowej pracy [2]. Ogólnie można
stwierdzić, że jak dotychczas nie ma metody dającej dobre rezultaty we wszystkich przypadkach. W zależności od postaci obrazu funkcji stosujemy odpowiednią metodę numeryczną odwracania tego obrazu. Tutaj zastosujemy metodę
zaproponowaną przez Schapery’ego [4], która wydaje się odpowiednia do za-
A. Fraska
12
gadnień przewodzenia ciepła. Na podstawie tej metody poszukujemy rozwiązania dla pola temperatury w postaci:
M
θ ( X , Y , T ) = −1 + ∑ cl ( X , Y ) ⋅ exp(− bl T ) ,
(34)
l =1
gdzie cl ( X , Y ) są nieznanymi funkcjami, a bl nieznanymi współczynnikami. Po
wykonaniu transformacji Laplace’a na wzorze (34) otrzymujemy:
~
θ ( X ,Y , p) = −
1
+
p
M
∑
l =1
cl ( X , Y )
.
p + bl
(35)
W wyniku porównania prawych stron równań (27) i (35) otrzymujemy:
−
1
+
p
M
∑
l =1
cl ( X , Y ) 1
=
p + bl
2π
N
∑ β ( p ) ⋅ K ( p, X , Y , ξ
j
j,
η j ).
(36)
j =1
Po zapisaniu ostatniego równania dla wybranych wartości parametru transformacji p1 , p 2 ,..., p M oraz założeniu, że b1 = p1 , b2 = p2 , ..., bM = p M , otrzymujemy układ równań z niewiadomymi funkcjami cl ( X , Y ) :
−
1
+
pi
M
∑
l =1
cl ( X , Y ) 1
=
p i + pl
2π
N
∑β
ji
j =1
(
)
⋅ K pi , X , Y , ξ j ,η j , i = 1,2,..., M .
(37)
Po wybieraniu punktu o współrzędnych ( X k , Yk ) otrzymujemy układ równań
liniowych w postaci:
Ac = B
(38)
gdzie
Aij =
Bi(k ) =
1
1
+
pi 2π
N
1
,
pi + p j


[ (
∑ β ji K  pi (X k − ξ j )2 + (Yk − η j )2
j =1
c (jk ) = c j ( X k , Yk ) .
(39)
)]  ,
1
2
(40)

(41)
Po rozwiązaniu tego układu metodą eliminacji Gaussa wyznaczamy współczynniki c (jk ) . Mając te współczynniki ze wzoru (34), otrzymujemy wartość temperatury w punkcie o współrzędnych ( X k , Yk ) .
Wyznaczanie niestacjonarnych pól temperatury...
13
5. WSKAŹNIKI BŁĘDÓW
W celu sprawdzenia dokładności powyższych metod zastosowano dwa kryteria błędów [3]. Pierwsze kryterium opiera się na tzw. błędzie globalnym dla
bezwymiarowej temperatury i ma postać:
ERG =
NT NP
1
∑∑ θ e ( X j , Y j , Ti ) − θ a ( X j , Y j , Ti , N ) ,
NT ⋅ NP i =1 j =1
(42)
przy czym indeksy e i a oznaczają dokładne i przybliżone rozwiązania przedstawionych przykładów otrzymane metodą źródeł pozornych lub metodą transformacji Laplace’a. W metodzie źródeł pozornych liczba punktów ( X j , Y j ) , w
których obliczamy błędy, NP =15, są one jednakowo rozmieszczone w całym
regionie. Drugie kryterium − tzw. błąd lokalny − jest zdefiniowane następująco:
ERL = max θ e ( X j , Y j , Ti ) − θ a ( X j , Y j , Ti , N ) .
(43)
Rozmieszczenie punktów kolokacji i punktów źródłowych jest dla obu metod
identyczne, przy czym punkty źródłowe są rozmieszczone na konturze podobnym do brzegu rozpatrywanego obszaru, a s oznacza odległość między punktami
źródłowymi a brzegiem obszaru. Przykładowe rozmieszczenie punktów kolokacji i punktów źródłowych pokazano na rys.1.
b)
a)
Y
Y
X
X
Rys. 1. Rozmieszczenie punktów kolokacji i punktów źródłowych: a) dla przykładu 1,
b) dla przykładu 2
Fig. 1. The distribution of collocation and source points a) example 1, b) example 2
A. Fraska
14
6. WYNIKI OBLICZEŃ I WNIOSKI
Na podstawie otrzymanych wyników można sformułować następujące wnioski:
− W metodzie BCMFS maksymalne wartości błędów występują w pierwszym kroku czasowym i maleją wraz z upływem czasu (patrz tab. 1). Jest to
prawdopodobnie spowodowane tym, że występuje skok temperatury na brzegu
obszaru dla t = 0.
− W metodzie BCMFS wartości błędów maleją wraz ze wzrostem odległości
s między punktami źródłowymi a brzegiem obszaru (patrz tab. 2).
− Zarówno w metodzie BCMLT, jak i BCMFS wartości błędu globalnego
i maksymalnego błędu lokalnego maleją monotonicznie wraz ze wzrostem liczby punktów (stopni swobody); patrz tab. 3−4.
− Dla przykładu 1 lepsze rezultaty otrzymano, stosując metodę BCMLT,
(patrz tab. 3). Dotyczy to zarówno błędu globalnego, jak i maksymalnego błędu
lokalnego. Rezultaty osiągnięte w BCMFS są do zaakceptowania, ale gorsze.
− Na podstawie zadania testowego z przykładu 1 możemy stwierdzić, że
numerycznie bardziej efektywna jest BCMLT w porównaniu z BCMFS.
Tabela 1
Wartości błędów dla BCMFS w zależności od czasu T, s = 0,15
Values of errors for BCMFS in dependence of time T, s = 0.15
T
0,10
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
Przykład 1
N=6
ERG
0,67741E-01
0,51346E-01
0,45899E-01
0,41408E-01
0,37621E-01
0,34382E-01
0,31585E-01
0,29151E-01
0,27018E-01
0,25140E-01
0,23476E-01
0,21997E-01
0,20676E-01
0,19490E-01
0,18423E-01
0,17459E-01
0,16584E-01
0,15788E-01
ERL
0,10300
0,71148E-01
0,59239E-01
0,47583E-01
0,37719E-01
0,29747E-01
0,23412E-01
0,18410E-01
0,14468E-01
0,11368E-01
0,89294E-02
0,70156E-02
0,55097E-02
0,43237E-02
0,33923E-02
0,26618E-02
0,20877E-02
0,16339E-02
Przykład 2
N=5
ERG
0,32218
0,27684
0,25219
0,22955
0,20935
0,19154
0,17590
0,16218
0,15012
0,13950
0,13013
0,12182
0,11443
0,10782
0,10190
0,96569E-01
0,91759E-01
0,87406E-01
ERL
0,88677
0,53907
0,40858
0,30890
0,23353
0,17672
0,13393
0,10173
0,77492E-01
0,59245E-01
0,45505E-01
0,35158E-01
0,27361E-01
0,21484E-01
0,17049E-01
0,13699E-01
0,11170E-01
0,92531E-02
Wyznaczanie niestacjonarnych pól temperatury...
15
Tabela 2
Wartości błędów dla BCMFS w zależności od parametru s, T = 1,0
Values of errors for BCMFS in dependence of parameter s, T = 1.0
Przykład 1
N=6
S
0,005
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,09
0,12
Przykład 2
N=5
ERG
ERL
ERG
ERL
0,87420E-01
0,62974E-01
0,41984E-01
0,32796E-01
0,27074E-01
0,23342E-01
0,20842E-01
0,19142E-01
0,17187E-01
0,16060E-01
0,63788E-01
0,43284E-01
0,24718E-01
0,15495E-01
0,10338E-01
0,74074E-02
0,55025E-02
0,42315E-02
0,27806E-02
0,19109E-02
0,21939
0,18333
0,14815
0,12969
0,11807
0,11012
0,10442
0,10018
0,94484E-01
0,89804E-01
0,14897
0,11595
0,82653E-01
0,63518E-01
0,50417E-01
0,40732E-01
0,33267E-01
0,27371E-01
0,18800E-01
0,12188E-01
Tabela 3
Porównanie błędów metod BCMLT i BCMFS dla przykładu 1, E = 1,0
Comparison of errors for BCMLT and BCMFS, Example 1, E = 1,0
BCMLT
N
ERG
BCMFS
ERL
ERG
ERL
s = 0,2
7
9
11
13
15
17
19
23
25
27
0,208E-2
0,743E-3
0,244E-3
0,139E-3
0,990E-4
0,927E-4
0,865E-4
0,852E-4
0,857E-4
0,854E-4
s = 0,04
0,941E-2
0,759E-2
0,536E-3
0,222E-2
0,121E-2
0,189E-3
0,121E-2
0,121E-2
0,121E-2
0,121E-2
0,668E-1
0,507E-1
0,335E-1
0,269E-1
0,236E-1
0,225E-1
0,198E-1
0,182E-1
0,180E-1
0,174E-1
0,385
0,215
0,247
0,234
0,225
0,219
0,215
0,211
0,210
0,209
Tabela 4
Wartości błędów dla BCMFS w zależności od wartości parametru N, T = 0,5
Values of errors for BCMFS in dependence of parameter N, T = 0.5
Przykład 1
N
4
5
6
7
9
10
ERG
Przykład 2
ERL
s = 0,15
0,33960E-01
0,22484E-01
0,30252E-01
0,18916E-01
0,29151E-01
0,18410E-01
0,29080E-01
0,18454E-01
0,29212E-01
0,18597E-01
0,29204E-01
0,18620E-01
ERG
ERL
s = 0,15
0,16561
0,16218
0,15898
0,15906
0,15836
0,15817
0,11109
0,10173
0,97745E-01
0,95931E-01
0,94648E-01
0,94439E-01
16
A. Fraska
PODZIĘKOWANIA
Dziękuję bardzo profesorowi J.A. Kołodziejowi i profesorowi J. Stefaniakowi za pomoc przy pisaniu tej pracy, cenne wskazówki i poświęcony czas.
Ta praca została zrealizowana w ramach badań własnych 21-149/2004 BW.
LITERATURA
[1] Budak B.M., Samarski A.A., Tichonow A.N., Zadania i problemy fizyki matematycznej,
Warszawa, PWN 1965.
[2] Davies B., Martin B., Numerical inversion of the Laplace transform: a survey and comparison
of methods, J. Comput. Physics, 1978, 33, s. 1−32.
[3] Kołodziej J. A., Stefaniak J., Kleiber M., Transient heat conduction by boundary collocation
methods and FEM – a comparison study, in: Numerical techniques for boundary element
methods. Proceedings of the Seventh GAMM-Seminar, Kiel, January 1991, ed. W. Hackbusch,
Notes on Numerical Fluid Mechanics, vol. 33, s. 105−115.
[4] Schapery R. A., Approximation methods of transform inversion for viscoelastic stress analysis, in: Proceedings of the Truth U.S. National Congress on Applied Mechanics, 1962, vol. 2,
s. 1075−1085.
[5] Stefaniak J., Controlling the concentrated sources in some problems of heat condution,
J. Tech. Phys., 1985, 26, s. 349−358.
Recenzent: dr hab. Tadeusz Hoffmann, prof. nadzw.
CALCULATION TIME DEPENDENT TEMPETATURE FIELDS −
A COMPARISON STUDY
Summary
The computational accuracy of boundary collocation methods is compared. 2D initialboundary value problems are considered. Two different version of the boundary collocation are
considered. The first one is based on the fundamental solution of governing differential equation
and discretization in time. The second one is based on coupling of the Laplace transform and the
boundary collocation method. To obtain the inverse Laplace transform the Schapery method is
employed.
It follows from the comparison of these two methods that in considered examples, for the same
parameters, the second method is preferable to its accuracy.
Key words: transient temperature field, boundary collocation method, Laplace transformation
Laplace’a, method of apparent sources
Mgr Agnieszka Fraska
Instytut Mechaniki Stosowanej, Politechniki Poznańskiej
ul. Piotrowo 3, 61-138 Poznań
tel. (061) 665 23 00, e-mail: [email protected]