Rozdział 4 METODY RÓŻNICOWE CAŁKOWANIA RÓWNAŃ

Janusz Adamowski
METODY OBLICZENIOWE FIZYKI
1
Rozdział 4
METODY RÓŻNICOWE
CAŁKOWANIA RÓWNAŃ
RÓŻNICZKOWYCH
ZWYCZAJNYCH
Układ M zwyczajnych równań różniczkowych pierwszego rzędu
dyj
= fj (x, y1 , . . . , yM ) ,
dx
(4.1)
x jest zmienną niezależną, j = 1, . . . , M .
Przykład sprowadzenia równania różniczowego 2. rzędu do układu równań różniczkowych 1. rzędu: ruch jednowymiarowy cząstki o masie m pod
działaniem siły F (x)
d2 x
m 2 = F (x) .
(4.2)
dt
Wprowadzamy pęd
dx
p(t) = m
,
(4.3)
dt
i otrzymujemy dwa sprzężone z sobą równania Hamiltona
dp
= F (x) .
dt
(4.4)
dx
p
=
(4.5)
dt
m
W dalszym ciągu rozważamy pojedyncze równanie typu (??), czyli
dy
= f (x, y) ,
dx
(4.6)
2
Rozdział 4. Równania różniczkowe zwyczajne
przy zadanym warunku początkowym o postaci
y(0) = y0 .
4.1
(4.7)
Różnicowa postać problemu
Szukamy rozwiązania równania (??), tzn. y(x) w przedziale x ∈ [0, 1] z
warunkiem początkowym (??). Przedział [0, 1] dzielimy na N jednakowych
podprzedziałów o długości h = 1/N każdy, przy czym
xn = nh .
(4.8)
yn = y(xn ) .
(4.9)
Oznaczamy
Jeżeli znajdziemy formułę rekurencyjną wiążącą yn z yn−1 , yn−2 , . . . itd., to
będziemy mogli całkować równanie (??) krok po kroku w przedziale [0, 1].
4.2
Metoda Eulera
yn+1 − yn
+ O(h) = f (xn , yn ) .
h
(4.10)
yn+1 = yn + hf (xn , yn ) + O(h2 ) .
(4.11)
Związek rekurencyjny
4.3
Metoda Adamsa-Bashfortha
3
1
yn+1 = yn + h( fn − fn−1 ) + O(h3 ) .
2
2
4.4
(4.12)
Metody implicite
h
[f (xn , yn ) + f (xn+1 , yn+1 )] + O(h3 )
(4.13)
2
Rozwiązanie tego równania ze względu na yn+1 dostarcza rozwiązania równania różniczkowego.
yn+1 = yn +
Janusz Adamowski
4.5
METODY OBLICZENIOWE FIZYKI
3
Metoda Runge’go-Kutty drugiego rzędu
k = hf (xn , yn )
(4.14)
h
k
yn+1 = yn + hf (xn + , yn + ) + O(h3 ) ,
2
2
(4.15)