Badanie funkcji

Badanie funkcji
Zadanie 1
Zbadać przebieg zmienności funkcji:
Wskazówka
Należy zbadać kolejno następujące elementy: dziedzina, granice, asymptoty, punkty przecięcia
wykresu z osiami współrzędnych, własności szczególne, pochodna, przedziały monotoniczności
funkcji, ekstrema, druga pochodna, wklęsłość, wypukłość, a następnie sporządzić wykres funkcji.
Rozwiązanie
Badanie funkcji będziemy wykonywać w sposób systematyczny trzymając się podanych niżej
punktów.
1. Dziedzina funkcji. Wyrażenie (1) jest dobrze określone wszędzie, więc przyjmujemy
.
2. Własności szczególne. Badana funkcja nie jest ani okresowa, ani nie przekształca się prosto
przy zamianie
.
3. Granice na końcach przedziałów określoności. Musimy rozważyć jedynie granice przy
. Wielomian w liczniku (1) ma wyższy stopień niż ten w mianowniku, więc łatwo
otrzymujemy:
4. Asymptoty. Współczynnik kierunkowy asymptoty w
(o ile ona istnieje) oznaczymy
symbolem , a wyraz wolny . Parametry te znajdziemy, obliczając kolejno granice:
oraz
Równanie prawej asymptoty ma więc postać:
. Parametry lewej asymptoty
oznaczymy odpowiednio
i . Znajdziemy je obliczając najpierw:
a następnie:
Równanie lewej asymptoty jest więc identyczne:
.
5. Punkty przecięcia z osiami współrzędnych. Miejscami zerowymi funkcji są
, a punkt przecięcia z osią ma współrzędne
6. Pochodna funkcji. Obliczamy pochodną funkcji :
oraz
.
Pochodna istnieje wszędzie, gdzie określona jest sama funkcja (czyli
).
7. Przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji. Mianownik wyrażenia (7) jest zawsze
dodatni, więc można go pominąć przy badaniu znaków pochodnej, natomiast licznik można
zapisać w formie:
Ponieważ trójmian kwadratowy w nawiasie jest nierozkładalny, więc łatwo możemy stwierdzić,
że:
1. dla
zachodzi
2. dla
funkcja jest rosnąca,
zachodzi
3. dla
funkcja jest malejąca,
zachodzi
Ponadto
dla
funkcja jest rosnąca.
oraz dla
. Z otrzymanych rezultatów wynika, że w punkcie
funkcja ma maksimum, przy czym
, a w punkcie
minimum, przy czym
.
8. Druga pochodna. Obliczamy teraz drugą pochodną:
Druga pochodna istnieje wszędzie, więc mamy
.
9. Wypukłość, wklęsłość, punkty przegięcia. Wielomian w liczniku (9) można zapisać w
formie:
Natomiast mianownik jest zawsze dodatni. Wynika stąd, że:
1. dla
zachodzi
2. dla
zachodzi
3. dla
funkcja jest wklęsła,
zachodzi
4. dla
W punktach
funkcja jest wypukła,
zachodzi
,
oraz
,a
funkcja jest wypukła,
funkcja jest wklęsła.
funkcja ma punkty przegięcia, przy czym
.
Teraz wszystkie otrzymane informacje zbierzemy w formie tabeli:
,
Na jej podstawie można już łatwo sporządzić wykres funkcji, który przedstawiony jest na rysunku
Figure 1.
Wykres funkcji (1). Należy zwrócić uwagę, że gdy
, wykres
przecina asymptotę i przybliża się do niej od dołu, gdyż w punkcie
funkcja ma punkt przegięcia, który trudno jest
uwidocznić na rysunku.
Zadanie 2
Zbadać przebieg zmienności funkcji:
Wskazówka
Należy zbadać kolejno następujące elementy: dziedzina, granice, asymptoty, punkty przecięcia
wykresu z osiami współrzędnych, własności szczególne, pochodna, przedziały monotoniczności
funkcji, ekstrema, druga pochodna, wklęsłość, wypukłość, a następnie sporządzić wykres funkcji.
Rozwiązanie
Podobnie jak w poprzednim zadaniu, badanie funkcji prowadzić będziemy w sposób systematyczny,
trzymając się wypracowanej metody.
1. Dziedzina funkcji. Wyrażenie (11) nie jest dobrze określone tam, gdzie są zera mianownika, a
zatem w punktach:
Mamy więc
.
2. Własności szczególne. Badana funkcja nie jest ani okresowa, ani nie przekształca się prosto
przy zamianie:
.
3. Granice na końcach przedziałów określoności. Obliczamy po kolei:
4. Asymptoty. Z otrzymanych powyżej granic wynika, że proste
i
są asymptotami
pionowymi dla wykresu funkcji. Pozostaje jeszcze zbadać ewentualne asymptoty ukośne przy
. Stosując oznaczenia identyczne jak w poprzednim zadaniu, obliczamy:
oraz
Równanie prawej asymptoty ma więc postać:
. Dla lewej asymptoty uzyskujemy:
a następnie:
Równanie lewej asymptoty jest więc identyczne:
.
5. Punkty przecięcia z osiami współrzędnych. Jedynym miejscem zerowym funkcji jest
i jest to zarazem punkt przecięcia wykresu z osią .
6. Pochodna funkcji. Obliczamy pochodną funkcji :
Pochodna istnieje wszędzie, gdzie określona jest sama funkcja (czyli
).
7. Przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji. Mianownik wyrażenia (17) jest nieujemny,
więc można go pominąć przy badaniu znaków pochodnej, natomiast licznik można zapisać w
formie:
Na tej podstawie łatwo możemy stwierdzić, że:
1. dla
zachodzi
2. dla
3. dla
funkcja jest rosnąca,
zachodzi
funkcja jest malejąca,
zachodzi
funkcja jest malejąca.
4. dla
zachodzi
funkcja jest malejąca,
5. dla
zachodzi
funkcja jest rosnąca.
Ponadto
punkcie
dla
,
oraz dla
. Z otrzymanych rezultatów wynika, że w
funkcja ma maksimum, przy czym
, w punkcie
minimum,
przy czym
. W punkcie
funkcja ma punkt przegięcia.
8. Druga pochodna. Obliczamy teraz drugą pochodną:
Druga pochodna istnieje wszędzie, gdzie określona jest funkcja , więc mamy
.
9. Wypukłość, wklęsłość, punkty przegięcia. Analizując znak wyrażenia (19) dochodzimy do
wniosku, że:
1. dla
zachodzi
funkcja jest wklęsła,
2. dla
zachodzi
funkcja jest wypukła,
3. dla
zachodzi
funkcja jest wklęsła,
4. dla
zachodzi
Wyniki te potwierdzają, że dla
funkcja jest wypukła.
funkcja ma punkt przegięcia.
Teraz wszystkie otrzymane informacje zbierzemy w formie tabeli.
Na jej podstawie można już łatwo sporządzić wykres funkcji, który przedstawiony jest na
rysunku %i 2.
Wykres funkcji (11).
Zadanie 3
Zbadać przebieg zmienności funkcji:
Wskazówka
Należy zbadać kolejno następujące elementy: dziedzina, granice, asymptoty, punkty przecięcia
wykresu z osiami współrzędnych, własności szczególne, pochodna, przedziały monotoniczności
funkcji, ekstrema, druga pochodna, wklęsłość, wypukłość, a następnie sporządzić wykres funkcji.
Rozwiązanie
1. Dziedzina funkcji. Funkcja (20) jest wszędzie dobrze określona, więc mamy:
.
2. Własności szczególne. Zachodzi:
, więc badana funkcja jest nieparzysta.
3. Granice na końcach przedziałów określoności. Mamy do znalezienia jedynie granice
funkcji w nieskończonościach. Ponieważ pierwszy wyraz zbiega wtedy do zera, więc łatwo
otrzymujemy:
4. Asymptoty. Zbadamy istnienie ewentualnych asymptot ukośnych przy
oznaczenia identyczne jak w poprzednich zadaniach, obliczamy:
. Stosując
oraz
Prawą asymptotą jest więc prosta:
. Dla lewej asymptoty otrzymujemy:
a następnie:
Lewa asymptota jest więc identyczną prostą:
.
5. Punkty przecięcia z osiami współrzędnych. Miejscem zerowym funkcji jest
zarazem punkt przecięcia wykresu z osią .
6. Pochodna funkcji. Obliczamy pochodną funkcji :
i jest to
Pochodna ta istnieje wszędzie (czyli
).
7. Przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji. Mianownik wyrażenia (26) jest nieujemny,
więc można go pominąć przy badaniu znaków pochodnej, natomiast licznik można zapisać w
formie:
Na tej podstawie łatwo stwierdzamy, że:
1. dla
zachodzi
2. dla
zachodzi
3. dla
zachodzi
4. dla
zachodzi
5. dla
Ponadto
funkcja jest malejąca,
funkcja jest rosnąca.
funkcja jest malejąca,
zachodzi
dla
funkcja jest rosnąca,
funkcja jest rosnąca.
oraz
. Z otrzymanych rezultatów wynika, że:
1. w punkcie
funkcja ma maksimum, przy czym
2. w punkcie
funkcja ma minimum, przy czym
3. w punkcie
funkcja ma maksimum, przy czym
4. a w punkcie
funkcja ma minimum, przy czym
Wyniki te zgodne są z naszą obserwacją, że funkcja jest nieparzysta.
,
,
,
.
8. Druga pochodna. Obliczamy teraz drugą pochodną:
Druga pochodna także istnieje wszędzie, więc mamy
.
9. Wypukłość, wklęsłość, punkty przegięcia. Analizując znak wyrażenia (28), dochodzimy do
wniosku, że:
1. dla
2. dla
3. dla
4. dla
W punktach
zachodzi
zachodzi
zachodzi
zachodzi
oraz
funkcja jest wklęsła,
funkcja jest wypukła,
funkcja jest wklęsła,
funkcja jest wypukła.
funkcja ma punkty przegięcia. Znajdziemy jeszcze wartości
funkcji w tych punktach:
,
oraz
. Ponownie
możemy dostrzec w otrzymanych rezultatach odbicie nieparzystości funkcji.
Teraz wszystkie otrzymane informacje zbierzemy w formie tabeli.
Na jej podstawie można już łatwo sporządzić wykres funkcji, który przedstawiony jest na
rysunku %i 3.
Wykres funkcji (20).
Zadanie 4
Znaleźć trójkąt równoboczny o najmniejszym polu, wpisany w inny trójkąt równoboczny o boku .
Wskazówka
Zadanie bardzo łatwe, bez wskazówki.
Rozwiązanie
Oznaczmy symbolem długość boku wpisanego trójkąta. Odległość wierzchołków obu trójkątów
oznaczymy , tak jak jest to przedstawione na rysunku.
Rys 4. Trójkąt równoboczny o boku
wpisany w trójkąt równoboczny o
boku .
Pole wpisanego trójkąta równe dane jest znanym wzorem:
Korzystając z twierdzenia cosinusów zastosowanego do któregoś z trójkątów o bokach ,
, pole to wyrazimy poprzez wielkość :
Szukamy więc minimum funkcji:
Obliczając pochodną otrzymujemy:
oraz
Jedynym jej miejscem zerowym jest
. Na lewo od tego punktu pochodna jest ujemna, a zatem
funkcja malejąca, a na prawo pochodna dodatnia, czyli funkcja rosnąca. Widzimy, że faktycznie pole
osiąga dla
swoją minimalną wartość równą:
Zadanie 5
Dane jest koło o promieniu
największej objętości?
. Jaki wycinek, należy z niego usunąć, aby po sklejeniu uzyskać stożek o
Wskazówka
Należy wyrazić objętość stożka przez kąt
różniczkowy.
usuniętego wycinka, a następnie wykorzystać rachunek
Rozwiązanie
Na rysunku przedstawiona jest sytuacja, z jaką mamy do czynienia i wprowadzone oznaczenia:
kąt usuniętego wycinka, -- promień podstawy stożka, -- jego wysokość.
Rys 5. Stożek uzyskany z koła, z
którego usunięto wycinek o kacie .
Objętość stożka jest naturalnie dana wzorem:
Obwód podstawy stożka równy jest
, co daje promień jego postawy:
Wysokość stożka możemy natomiast znaleźć z twierdzenia Pitagorasa wykorzystując fakt, że
--
tworząca stożka ma długość
:
Wstawiając to do (34) otrzymujemy szukaną funkcję
Obliczamy teraz pochodną
:
i szukamy ekstremów.
Ze względów geometrycznych zachodzi:
oraz jej znaków istotne jest tylko wyrażenie:
, co oznacza, że dla miejsc zerowych pochodnej
. Ma ono dwa miejsca zerowe, przy
czym w przedziale
leży tylko
dodatniej na ujemną, skąd wynika, że objętość dla
(37), otrzymujemy:
. W punkcie tym pochodna zmienia znak z
jest maksymalna. Podstawiając tę wartość do
Zadanie 6
Dana jest elipsa zapisana we współrzędnych biegunowych:
gdzie
oraz
. Znaleźć półosie tej elipsy.
Wskazówka
Półoś
(na osi ) znaleźć jest łatwo, a półoś
, gdzie
(na osi ) znaleźć można szukając maksimum funkcji
jest zmienną kartezjańską.
Rozwiązanie
Wprowadzamy oznaczenia takie, jak na rysunku:
-- duża półoś,
-- mała półoś.
Rys 6. Elipsa opisana równaniem
(40).
Aby znaleźć półoś
nie ma potrzeby wykorzystywania rachunku różniczkowego. Wystarczy napisać:
W celu obliczenia półosi
napiszemy równanie funkcji
, gdzie
jest zmienną kartezjańską, a
. Mamy:
Różniczkując tę funkcję po , otrzymujemy:
Jedynym miejscem zerowym pochodnej (w przedziale
) jest kąt stanowiący rozwiązanie
równania:
. W punkcie tym pochodna zmienia znak z dodatniej na ujemną, co oznacza, że
mamy do czynienia z maksimum funkcji. Nie musimy znać jawnie tego kąta. Wystarczy nam
znajomość wartości cosinusa oraz wiedza, że
, gdzie sinus jest dodatni. Wtedy wiemy, iż
i wstawiając wszystkie potrzebne wartości do (42) uzyskujemy:
Zadanie 7
Pomiędzy ładunkami punktowymi i
odległymi o , znaleźć punkt, w którym siła
elektrostatyczna działająca na pewien ładunek jest najmniejsza.
Wskazówka
Należy wykorzystać wzór na siłę elektrostatyczną działającą pomiędzy ładunkami punktowymi
odległymi o :
gdzie
i
jest stałą.
Rozwiązanie
Całkowita siła, jaka działa na ładunek umieszczony pomiędzy ładunkami różnych znaków, jest ich
algebraiczną sumą, gdyż oba wektory sił skierowane są w tę samą stronę. Wykorzystując wzór
Coulomba:
gdzie jest stałą (współczynnikiem przenikalności elektrycznej próżni),
odległością pomiędzy nimi, otrzymujemy:
i
-- ładunkami, a
Symbol oznacza tutaj odległość pomiędzy ładunkami i , a
pomiędzy ładunkami i
Musimy teraz znaleźć minimum tej funkcji (rolę argumentu odgrywa ). W tym celu obliczamy
pochodną:
Rozwiązując równanie
--
.
otrzymujemy:
Badając znaki pochodnej na lewo i na prawo od tego punktu, łatwo stwierdzamy, że siła przyjmuje w
nim wartość minimalną. Jest ona równa: