Tomasz Odrzygóźdź Różniczkowanie normy supremum Niech f ∈ C

Tomasz Odrzygóźdź
Różniczkowanie normy supremum
Niech f ∈ C([0, 1]). Defniujemy ||f || = supx∈[0,1] |f (x)|. Sprawdzimy czy i ewenetualnie gdzie odwzorowanie φ : f 7−→ ||f || ma mocną pochodną.
Zdefiniujmy zbiór A := {x ∈ [0, 1] : |f (x)| = ||f ||}. Zbiór ten jest niepusty bo funkcja
ciągła na zbiorze zwartym osiąga swoje kresy. Narazie rozpatrzę funkcje o normie niezerowej. Zerem zajmę się na końcu. Rozpatrzmy przypadki:
1) Przypadek gdy #A > 1. Udowodnię, że odwzorowanie φ nie ma w f mocnej pochodnej.
Przypuśćmy nie wprost, że odwzorowanie φ ma w f pochodną, którą oznaczę φ0 . Wtedy
jest ona odwzorowaniem liniowym: C([0, 1]) → R. Ponieważ zbiór A ma conajmniej dwa
elementy, zatem istnieją takie różne x1 , x2 ∈ A , że |f (x1 )| = |f (x2 )| = ||f ||. Dla ustalenia uwagi załóżmy, że f (x1 ) > 0. Niech v ∈ C([0, 1]) będzie dowolną funkcją spełniającą
warunki:
∀x takiego, że |x − x1 | >
||v|| < ||f ||
1
|x
2 1
− x2 | zachodzi v(x) = 0, oraz ||v|| = v(x1 ) > 0, oraz
Zauważmy, że dla tego przypadku ||f + v|| = ||f || + ||v||, zaś ||f − v|| = ||f ||. Spróbujmy
znaleźć pochodną kierunkową funkcji φ w punkcie f wzdłuż wektora v.
|||
= limt→0 t||v||
= ||v|| = v(x1 ).
limt→0− |||f +tv||−||f
t
t
|||f −tv||−||f |||
limt→0+
= 0. Widzimy, że nie istnieje pochodna kierunkowa wzdłuż v zatem
t
nie istnieje mocna pochodna odwzorowania φ.
Przypadek, gdy f (x1 ) < 0 można rozpatrzeć analogicznie (tzn bardzo podobnie).
Rozpatrzmy teraz przypadek, gdy #A = 1. Niech x0 będzie takim punktem, że f (x0 ) =
||f ||. Załóżmy dla ustalenia uwagi, że f (x0 ) > 0. Niech va,b , będzie dowolną funkcją
ciągłą, spełniającą warunki:
Dla x ∈
/ [x0 − a2 , x0 + a2 ] zachodzi va,b (x) = 0, oraz va,b (x0 ) = b, oraz |va,b (x0 )| = ||va,b ||.
Zauważmy, że dla b > 0 zachodzi ||f + va,b || = ||va,b ||. Zatem jeśli istnieje pochodna
odwzorowania φ to musi ona być dana wzorem φ0 va,b = va,b (x0 ). Wskażę teraz taki ciąg
funkcji van ,bn , który nie spełnia:
|(||f +van ,bn ||−||f ||−|bn |)|
limn→∞
=0
|bn |
Niech bn będzie dowolnym ciągiem liczb dodatnich zbieżnym do 0. Funkcja f jest ciągła
więc istnieje otoczenie punktu x0 takie, że funkcja f na tym przedziale zmienia się o
mniej niż b10n . Oznaczmy to otoczenie przez u(bn ). Niech an = u(b2n ) . Zauważmy, że
1
||f || < ||f − va,n || + |b2n | ||. Zatem ||f − van ,bn || − ||f || − |bn |)|| > |b2n | . Wszystkie wyrazy ciągu
|(||f +van ,bn ||−||f ||−|bn |)|
są większe niż 12 zatem ciąg nie jest zbieżny do 0. Zatem nie istnieje
|bn |
mocna pochodna w tym punkcie.
Ostatni przypadek f = 0. Niech va,b będzie zdefiniowane tak jak w poprzednim zadaniu.
Rozpatrzmy pochodną kierunkową wzdłuż dowolnej funkcji v. Ponieważ ||v|| = || − v||
więc pochodna kierunkowa wzdłuż v jeśli istnieje musi być równa pochodnej kierunkowej
wzdłuż −v. Ale wtedy jeśli pochodna wzdłuż v musi być równa 0. Jednak odwzorowanie
zerowe nie spełnia definicji mocnej pochodnej w punkcie 0.
2