zadania was 3

PF 2010-2011 - ćwiczenia grupa J5 zima - seria 3
1. Na poziomej płaszczyźnie znajduje się równia pochyła o kącie nachylenia α i masie
M. Na zboczu równi położono klocek o masie m. Wszystkie powierzchnie są doskonale
gładkie. Znaleźć przyspieszenia klocka i równi w kierunku poziomym (względem

nieruchomego układu odniesienia) oraz siły nacisku: klocka na równię N i równi na

podłoże R .
Wskazówka: odpowiednie siły zaznaczono na rysunku 1. Wygodnie jest napisać
równania ruchu w kierunku x i y oddzielnie dla klocka i równi. Związki między
przyspieszeniami równi i klocka można wyznaczyć przez podwójne zróżniczkowanie
tożsamości =
y ( x − b ) tan α .
Odp.: α Mx =
Mg ( M + m )
− Mg sin 2α
mg sin 2α
mMg cos α
; α mx =
; N=
; R=
2
2
2
M + m sin 2 α
M + m sin α
2 ( M + m sin α )
2 ( M + m sin α )
2. Po poziomej płaszczyźnie, z przyspieszeniem a porusza się równia pochyła o kącie nachylenia α. Na równi
położono klocek. Współczynnik tarcia klocka o równię wynosi µ. Dla jakich wartości a klocek jest w spoczynku
względem równi?
sin α − µ cos α
µ cos α + sin α
do a2 = g
.
Odp.: Dla przyspieszenia a z przedziału od a1 = g
cos α + µ sin a
cos α − µ sin α
3. Lina leżąca na poziomej desce przechodzi jednym końcem przez wywiercony w desce
otwór. Całkowita długość liny wynosi l , a długość zwisającej części wynosiła l0 w chwili
rozpoczęcia ruchu t = 0 . Współczynnik tarcia między liną a deską wynosi µ. Obliczyć
czasowe zależności: prędkości liniowej liny v ( t ) i długości zwisającej części x ( t ) . Jaki warunek powinien być
spełniony, aby lina zaczęła się zsuwać?
Wskazówka: Ułożyć równanie różniczkowe na x ( t ) , gdzie x jest długością części zwisającej. Będzie to
równanie niejednorodne, a jego rozwiązaniem szczególnym jest x = C gdzie stałą C należy wyznaczyć przez
wstawienie tego rozwiązania do równania niejednorodnego. Rozwiązaniem ogólnym równania niejednorodnego
jest suma rozwiązania szczególnego i rozwiązania ogólnego równania jednorodnego.
(1 + µ ) l0 − µl cosh  g 1 + µ t  + µl ;
Odp. x ( t )
(
) 

1+ µ
 l
 1+ µ
4. Na linie przerzuconej przez nieruchomy blok i przyczepionej do gigantycznego banana o masie M
znajduje się małpa o masie m. Dane jest przyspieszenie ziemskie g. Znaleźć (zakładając, że banan
porusza się bez tarcia) ruch całego układu w następujących przypadkach:
a. małpa nie porusza się względem liny
b. małpa wspina się po linie ze stałą prędkością v0 (względem liny)
c. małpa wspina się ze stałym przyspieszeniem a0 (względem liny)
mg − Ma0
m
Odp. a,b) przyspieszenie układu a =
, przyspieszenie banana
g ; c) przyspieszenie małpy am =
m+M
M +m
m
=
aM
( g + a0 ) .
m+M
Ruch ciał o zmiennej masie
5. W motorówce o masie M, płynącej z prędkością v0 zepsuł się silnik. Ponadto zaczęła się do niej wlewać woda
ze stałą wydajnością µ . Znaleźć zależność prędkość motorówki od czasu v ( t ) , jeśli opór stawiany przez wodę T
jest proporcjonalny do aktualnej prędkości v ( T = −α v , gdzie α - stała proporcjonalności).
 M0 
Odp. v ( t ) = v0 

 M 0 + µt 
µ +α
µ
.
6. Lokomotywa ciągnie puste wagony po poziomym torze z prędkością v0 pod systemem taśmociągów
ładujących węgiel. Węgiel spada pionowo w dół ze stałą wydajnością µ . Masa pustego pociągu wynosi M 0 .
Obliczyć: a) zależność prędkości pociągu podczas załadunku, przy założeniu, że stała jest siła ciągu lokomotywy
i siła tarcia (siła tarcia, a nie współczynnik tarcia!); b) zależność prędkości od czasu przy założeniu, że w
momencie rozpoczęcia załadunku napęd został wyłączony. Przyjąć, że do ciągnięcia pustych wagonów potrzebna
jest moc P , a wypadkowa siła tarcia pozostaje stała. Po jakim czasie pociąg zatrzyma się; c) jakiej dodatkowej
siły ciągu trzeba użyć, aby podczas załadunku prędkość pociągu nie zmieniała się i wynosiła v0 ?
Odp.: a) v ( t ) = v0

v02 M 0
M0
P  M0
P
; b) v ( t ) =
v
+
−
,
; c) Fc = µ v0
=
t
 0

µ v0  M 0 + µ t µ v0 s
P
M 0 + µt

7. W wagonie-cysternie stojącym na górce rozrządowej o kącie nachylenia α zepsuł się system hamulcowy i
zaczęła się z niego wylewać, prostopadle do kierunku ruchu, ciecz. Znaleźć zależność prędkości wagonu w
funkcji czasu v ( t ) , przy zaniedbaniu tarcia.
Odp.: v ( t ) = gt sin α