Matematyka MAP3032

Matematyka MAP3032
E/AiR, rok IV
Wykład 3
1.Przestrzenie unormowane
Niech V będzie przestrzenią liniową.
Definicja 1. Funkcja V 3 v̄ 7→ kv̄k ∈ [0, ∞) jest normą na V , gdy spełnia warunki:
1. kv̄k = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy v̄ = 0̄,
2. ka · v̄k = |a| · kv̄k dla każdego v̄ ∈ V i każdej liczby a ∈ K,
3. kv̄ + w̄k ¬ kv̄k + kw̄k dla dowolnych v̄, w̄ ∈ V (nierówność trójkąta).
Fakt 1 (Proste własności normy).
Pn
2. k
i=1
v̄i k ¬
Pn
i=1
1. |kv̄k − kw̄k| ¬ kv̄ − w̄k
kv̄i k
Definicja 2. Parę (V, k·k), gdzie V jest przestrzenią liniową, a k·k określoną na niej normą,
nazywamy przestrzenią unormowaną.
W Rn definiowaliśmy normę wektora v̄ = (v1 , ..., vn ) wzorem
kv̄k = kv̄k2 =
q
v12 + ... + vn2 .
Ale można inaczej:
kv̄k∞ = max{|v1 |, ..., |vn |}
kv̄k1 =
n
X
|vi |
i=1
lub ogólniej
kv̄kp =
n
X
!1/p
p
|vi |
.
i=1
Czy te normy są znacznie od siebie różne, czy też mają wspólne cechy?
Definicja 3. Niech k·k1 , k·k2 będą normami na przestrzeni liniowej V . Mówimy, że normy
te są równoważne, gdy istnieją stałe dodatnie c i C takie, że
ckv̄k1 ¬ kv̄k2 ¬ Ckv̄k1 .
Można pokazać, że powyższe normy na Rn sa równoważne.
Inne przykłady przestrzeni unormowanych
1. dla (xn ) ∈ c00 (przestrzeń ciągów, których wyrazy od pewnego miejsca są równe zero)
definiujemy k(xn )k = maxn∈N |xn |,
2. dla (xn ) ∈ l∞ , ciągi ograniczone, (w szczególności dla x ∈ c0 , czyli przestrzeni ciągów
zbieżnych) definiujemy k(xn )k∞ = supn∈N |xn |,
1
3. dla (xn ) ∈ l1 (ciągi sumowalne bezwzględnie) definiujemy
k(xn )k1 =
∞
X
|xn |,
n=1
4. dla (xn ) ∈ lp , p ­ 1 (ciągi sumowalne z p-tą potęgą) definiujemy
k(xn )kp =
∞
X
!1/p
p
|xn |
,
n=1
5. dla f ∈ CR ([0, 1]) (funkcje ciągłe f : [0, 1] → R) definiujemy
kf k∞ = sup |f (x)| = max |f (x)|,
x∈[0,1]
x∈[0,1]
6. dla f ∈ CR1 ([0, 1]) (funkcje ciągłe f : [0, 1] → R, posiadające ciągłą pochodną) definiujemy
kf k = max |f (x)| + max |f 0 (x)|.
x∈[0,1]
x∈[0,1]
Definicja 4. Parę (V, || · ||), gdzie V jest przestrzenią liniową, a || · || normą, nazywamy
przestrzenią unormowaną.
Nie zawsze wykazywanie, że funkcja jest normą jest proste. Możemy zrobić przykład
dla l∞ i C(R), ale lp są trudne (nierówność Höldera).
Jeśli (V, k·k) jest przestrzenią unormowaną, to norma zadaje metrykę, czyli odległość
wzorem
d(v̄, w̄) = kv̄ − w̄k.
Ale nie każda metryka pochodzi od normy, nawet w przestrzeniach mających strukturę
liniową (metryka dyskretna).
Definicja 5. Ciąg (v̄n ) w przestrzeni unormowanej (V, || ·||) jest zbieżny do granicy v̄ ∈ V ,
gdy ||v̄n − v̄|| → 0.
Przykłady:
πn
, 1) jest zbieżny do (2, 0, 1).
1. Ciąg (2 − n1 , sin n+1
2. Ciąg fn (x) = n1 x jest zbieżny w C([0, 1]) do funkcji stale równej zero.
3. Ciąg fn (x) = xn nie jest zbieżny w C([0, 1]) z normą kf k∞ = supx∈[0,1] |f (x)|, ale
jest
zbieżny do funkcji stale równej zero, gdy jako normę przyjmiemy całkę kf k1 =
R1
0 |f (x)| dx.
1
1
1
4. Rozważmy ciągi v̄n = (1, 1, ..., 1, 0, 0, ...), w̄n = ( n1 , n+1
, n+2
, n+3
, ...),
|
{z
n
}
1
1
1
, 2n+2
, 2n+3
, ...). Do jakich przestrzeni należą i w jakich normach są
ūn = ( 21n , 2n+1
zbieżne?
2
2. Przestrzenie Banacha
Wyróżnimy dalej specjalną klasę przestrzzeni unormowanych.
Definicja 6. Ciąg (v̄n ) spełnia warunek Cauchy’ego (jest ciągiem Cauchy’ego, ciągiem
podstawowym), gdy dla każdego > 0 istnieje takie n0 , że dla każdej pary liczb naturalnych
m, n > n0 zachodzi
||v̄n − v̄m || < .
Ciąg xn = n1 jest ciągiem Cauchy’ego w R, ale jego zbieżność zależy od przestrzeni w
jakiej chcemy go rozważać. Jest zbieżny w R i w [0, 1], ale nie jest zbieżny w (0, 1).
Definicja 7. Przestrzeń jest zupełna, gdy każdy ciąg Cauchy’ego jest zbieżny.
Wiele ważnych twierdzeń jest ważnych tylko w przestrzeniach zupełnych!
Definicja 8. Przestrzeń Banacha to zupełna przestrzeń unormowana.
Zupełność to własność metryki (odległości), a nie normy.
Przestrzeniami Banacha są:
1. lp dla p ­ 1 z normą ||(xn )|| =
qP
p
∞
n=1
|xn |p
2. c0 i l∞ z normą ||(xn )|| = supn∈N |xn |
3. C([0, 1]) (ogólniej C([a,b])) z normą ||f || = supx |f (x)|.
Ważne przykłady funkcyjnych przestrzeni Banacha (przestrzenie Lp ) pojawią się na następnych wykładach.
3