Zadania z algebry Zestaw 4 1. Udowodnić, że złożenie

Zadania z algebry
Zestaw 4
1. Udowodnić, że złożenie homomorfizmów pierścieni jest homomorfizmem.
2. Udowodnić, że funkcja odwrotna do izomorfizmu pierścieni jest izomorfizmem.
3. Udowodnić, że jeśli P i S są pierścieniami to pierścienie P × S i S × P są
izomorficzne.
("
4. Udowodnić, że pierścień A =
a 0
0 b
#
)
: a, b ∈ R
jest izmorficzny z
pierścieniem R2 .
5. Sprawdzić, która z poniższych funkcji jest homomorfizmem:
(a) φ : C[0,1] → R, φ(f ) = f (1),
(b) φ : R2 → R, φ((a, b)) = a + b,
(c) φ : Mn (K) → Mn (K), φ(X) = T −1 XT, T ∈ Gln (K).
6. W zbiorze R definiujemy działania:
a⊕b=a+b+1
a b = a + b + ab
Udowodnić, że pierścienie (R, ⊕, ) i (R, +, ·) są izomorficzne.
7. W pierścieniu Z5 [x] wykonać dzielenie wielomianów z resztą:
(a) x4 + 4x + 2x2 + 3x + 4 przez x3 + x2 + 2x + 2,
(b) x5 + 4x4 + x3 + 2x2 + 2x + 1 przez x2 + 2x + 3.
8. Korzystając ze schematu Hornera wykonać dzielenie w pierścieniu z resztą
Z[x]:
(a) x4 − 9x3 + 23x2 − 16x + 13 przez x − 5,
(b) x3 − 7 przez x − 1.
9. Wyznaczyć wielomiany f (x) ∈ Q[x], które w danych punktach przyjmują
podana wartości:
(a) f (0) = 6, f (1) = 5, f (2) = 8,
(b) f (−1) = −2, f (0) = −2, f (1) = −2, f (2) = 4.
1
10. Wykorzystując algorytmy rozwiązywania równań wielomianowych, rozwiązać:
(a) x3 − 2x + 1 = 0,
(b) x3 − 2x2 + 3x − 2 = 0,
(c) x4 − 4x2 + x + 2 = 0,
(d) x4 + x3 − 4x2 + x + 1 = 0.
11. Czy wielomian x5 + 15x4 − 10x3 + 25x2 − 5x + 30 jest rozkładalny nad
Q?
12. Niech P będzie pierścieniem przemiennym i niech p ∈ P . Udowodnić, że
zbiór pP = {px : x ∈ P } jest ideałem pierścienia P .
13. Wyznaczyć wszystkie ideały pierścieni: Q, R, C, Z5 .
14. Sprawdzić, że zbiór I ∈ C[0,1] :
I=


Z1

0
f:


f (x)dx = 0

jest ideałem pierścienia C[0,1] .
15. Wyznaczyć wszystkie ideały pierścienia Z3 × Z3 .
16. Wyznaczyć tabelki działań w pierścieniu Z3 [x]/(f (x)), gdzie f (x) = x3 +
2x + 1. Czy struktura Z3 [x]/(f (x)) jest ciałem?
17. Wyznaczyć wszystkie ideały pierścieni Z8 , Z9 , Z10 .
18. Wyznaczyć wszystkie kongruencje (i pierścienie ilorazowe) pierścieni Z6 ,
Z8 , Z12 .
2