SZEREGI POTĘGOWE 1. Wyznaczyć promienie zbieżności

SZEREGI POTĘGOWE
1. Wyznaczyć promienie zbieżności szeregów potęgowych i zbadać zbieżność szeregów na krańcach przedziałów zbieżności
∞
X
n
(a)
xn
(f)
(j)
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
2.?
∞
X
2n sinn x
(b)
n=1
1)2n
(x −
n9n
(g)
(c)
n2
∞
X
∞
X
∞
X
3n xn
(d)
5n (n + 1)
n=1
n
∞
X
n x+3
(h)
3
x−3
n n
10 x
n=1
(n − 1) 3n−1 xn−1
n=1
n=1
(e)
(i)
∞
X
xn
n10n−1
n=1
∞
X
(1 +
n=1
1
1
+ ... + )xn
2
n
3n + (−2)n
(x + 1)n
n
Rozwinąć w szereg potęgowy funkcje
Z x
2
−x2
(a) e
(b)
e−t dt.
0
3.?
Policzyć sumę szeregu
(a)
∞
X
2n
n=1
n!
(b)
∞
X
(−1)n
n!
n=1
4. Określić przedział zbieżności szeregu i podać jego sumę
(a)
∞
X
xn
n=1
n
(b)
∞
X
(3n + 1)x
n=1
n
(c)
∞
X
n2 xn
n=1
5. Następujące całki wyrazić za pomocą szeregów
Z
Z
Z
sin x
x2
(a)
dx (b)
e dx (c)
cos(x2 )dx
x2
Z
(d)
sin(x3 )dx
Twierdzenie o różniczkowaniu.
P∞
n
Jeżeli szereg potęgowy
suma jego równa się f (x), to szereg
n=0 an (x − x0 ) ma promień
Pzbieżności R, a n−1
potęgowy z pochodnych wyrazów szeregu pierwotnego ∞
na
(x
−
x
)
ma ten sam promień zbieżności R,
n
0
n=1
a suma jego g(X) jest pochodną sumy szeregu pierwotnego, tzn. g(x)=f’(x) dla |x − x0 | < R.
Twierdzenie o całkowaniu szeregów.
P
Jeżeli szereg funkcyjny ∞
an jest funcją ciągłą w przedziale a ≤ x ≤ b, jest jednostajnie zbieżny w
n=0 an , gdzie P
Rb
Rb
tym przedziale do sumy f(x), to szereg ∞
n=1 a an (x)dx jest zbieżny do sumy a f (x)dx.
POWTÓRZENIE - ROZWINIĘCIA TYLORA PODSTAWOWYCH FUNKCJI
n
ex = 1 + x +
X xk
1 2
1
1
x + x3 + ... + xn + o(xn ) =
+ o(xn )
2!
3!
n!
k!
k=0
sin x =
n
X
(−1)k
k=0
cos x =
n
X
k=1
(−1)k
x2k+1
x3 x5
x2k+1
+ o(xn ) = x −
+
− ... + (−1)k
+ o(x2k+1 )
(2k + 1)!
3!
5!
(2k + 1)!
x2k
x2 x4
x2k
+ o(xn ) = 1 −
+
− ... + (−1)k
+ o(x2k )
(2k)!
2!
4!
(2k)!
n
X
1
1
1
xn
xk
ln(1 + x) = x − x2 + x3 − x4 + ... + (−1)n−1
+ o(xn ) =
+ o(xn )
(−1)k+1
2
3
4
n
k
k=1
(1+x)α = 1+αx+
P
(α − 1)αx2
(α − n + 1) · ... · (α − 1)αxn
+...+
+o(xn ) = nk=0
2!
n!
1
2
tgx = x + x3 + x5 + o(x5 )
3
15
Własności reszty
1. o(xn ) ± o(xn ) = o(xn )
4. ∀m>n xm ∼ o(xn )
2. c · o(xn ) = o(xn )
3. xk · o(xn ) = o(xn+k ), k ∈ Z
5. (f1 (x) + o(xn ))(f2 (x) + o(xn )) = f1 (x)f2 (x) + o(xn )
(α−k+1)·...·(α−1)α k
x +o(xn )
k!