Analiza matematyczna 1 Lista 3 (1) Udowodnij, że ciąg {an} jest

Analiza matematyczna 1
Lista 3
(1) P
Udowodnij, że ciąg {an } jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy szereg
∞
n=1 (an+1 − an ) jest zbieżny (jaka jest wówczas jego suma?).
(2) Udowodnij
”prawo
P∞
P∞ łączności” szeregów zbieżnych:
a
=
k=1 k
k=1 bnk , gdzie bnk = ank + · · · + ank+1 −1 dla dowolnego
podciągu 1 = n1 < n2 < . . . liczb naturalnych.
P∞
Podaj przykład szeregu rozbieżnego k=1 ak takiego, że szereg (a1 +
a2 ) + (a3 + a4 ) + . . . jest zbieżny.
(3) Podaj przykłady:
P∞
(a) szeregu naprzemiennego
0;
P∞ rozbieżnego k=1 ak takiego, że lim ak a=k+1
(b) szeregu zbieżnego k=1 ak o wyrazach dodatnich takiego, że lim ak
nie istnieje.
(4) P
Udowodnij, że jeśli ciąg {ak } o wyrazach dodatnich jest malejacy i szereg
∞
k=1 ak jest zbieżny, to lim kak = 0.
(5) Udowodnij, że
ciąg {an } o wyrazach nieujemnych
Pjeśli
P∞ jest nierosnący (an+1 ¬
∞
an ) i szereg k=1 2k a2k jest zbieżny, to szereg n=1 an jest zbieżny.
Wskazówka: pokaż, że jeśli n ¬ 2k , to n-ta suma częściowa
P∞
P∞ kszeregu
k
a2k .
n=1 an jest niewiększa od 2 -tej sumy częściowej szeregu
k=1 2 P
∞
Wykorzystaj powyższe kryterium do pokazania zbieżności szeregu n=1 n1s ,
dla liczb rzeczywistych s > 1. Jak jest dla s ¬ 1?
(6) Zapisz rozwinięcie dziesiętne ułamka 5/9 w postaci szeregu i sprawdź, że
jego suma wynosi 5/9.
Znajdź liczbe wymierną, która ma zapis dziesiętny 0, 151515 . . . .
(7) Zbadaj zbieżność szeregów:
√
P∞
P∞
P∞ 2
√
1
n
n),
n=1 ( n + 1 −
n=1 (n+1)(2n−1) ,
n=1 n+1 ,
k=1 3k ,
√
√
P∞
P∞ 2n n! P∞ 3n n! P∞
m+1− m
p n
,
n p (p > 0),
n ,
n=1
m
nn ,
P∞n 1 n=1
P∞
P∞ sa
Pn=1
Pm=1
√
1
∞
∞
1
n
−1− n
n
,
,
,
n
−
1)
,
n
(
n=2 ln n
r=0 2r +1 ,
s=0
n=1
n=1
P∞
P∞
P∞ ln i P∞ xk P∞
P∞ s! n
k+2
mπ
r 2r
k=0 (k+3)2 ,
m=0 sin 2 ,
i=1 i3 ,
k=0 4k ,
r=0 (−1) x ,
n=1 nx ,
P∞ xk P∞
m m
k=1 k2 ,
m=1 m x .
P∞
1