Zadania na II etap kl. III

LIGA MATEMATYCZNO-FIZYCZNA
KLASA III ETAP II
1. O ile % można obniżyć opłatę za kurs języka angielskiego, aby przy wzroście liczby
uczniów o 20% łączna kwota wpłat wzrosła o 8%? Odpowiedź uzasadnij.
2. Na okręgu opisano trapez prostokątny. Odległości środka okręgu od końców ramienia
nieprostopadłego wynoszą 2 cm i 4 cm. Oblicz pole trapezu.
3. Dwa zewnętrznie styczne okręgi są styczne do ramion kąta. Odległości ich środków
od wierzchołka kąta wynoszą odpowiednio 7 i 12. Oblicz długości promieni tych
okręgów.
4. Z punktu P leżącego wewnątrz trójkąta równobocznego poprowadzono odcinki
prostopadłe do boków trójkąta. Wykaż, że suma długości tych odcinków jest równa
wysokości tego trójkąta.
5. Dane są trzy koła współśrodkowe. Promień największego z nich wynosi 12 cm. Oblicz
promienie pozostałych kół, jeśli wiesz, że pole powstałych pierścieni i najmniejszego
koła są sobie równe.
6. Narysuj wykres funkcji
a.
b.
c.
1
2
2
1
3
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
5
7. Oblicz pole figury ograniczonej wykresami y = -2, y = 3, y = x+5, y = -x+8.
8. Punkty A i B przecięcia wykresu funkcji
6 z osiami współrzędnych OY i OX
oraz punkt C=(3;-10) są wierzchołkami trójkąta. Oblicz jego pole i obwód. Tego
trójkąta.
9. Sporządź wykres funkcji:
| | ,
a.
b.
1 ,
c.
3
2 ,
10. Na zewnątrz trójkąta prostokątnego równoramiennego o przyprostokątnej długości 4
cm zbudowano kwadraty. Jednym z boków każdego kwadratu jest bok tego trójkąta.
Punkty przecięcia przekątnych kwadratów wyznaczają trójkąt. Oblicz pole
otrzymanego trójkąta.
11. Wyznacz stosunek pola sześciokąta foremnego do pola trójkąta równobocznego, jeśli
oba te wielokąty mają równe obwody.
12. W okrąg wpisano sześciokąt foremny, a następnie w taki sam okrąg wpisano kwadrat.
Obwód sześciokąta wynosi 24 cm. Oblicz pole kwadratu.
13. W trójkąt równoboczny wpisano okrąg, w ten okrąg wpisano trójkąt równoboczny, a
w ten trójkąt równoboczny wpisano okrąg. Ile razy promień mniejszego okręgu jest
mniejszy od promienia większego okręgu.
14. Jeżeli w pewnej liczbie pięciocyfrowej dopiszemy jedynkę z lewej strony, to
otrzymamy pewną liczbę sześciocyfrową. Jeżeli zaś jedynkę dopiszemy z prawej
strony tej liczby, to otrzymamy liczbę sześciocyfrową, która jest trzykrotnie większa
od poprzednio otrzymanej liczby. Znajdź tę liczbę pięciocyfrową.
15. Udowodnij, że jeśli środkowa trójkąta ma długość równą połowie boku, do którego
została poprowadzona, to trójkąt jest prostokątny.
16. Na zewnątrz kwadratu ABCD budujemy trójkąt równoboczny CDE. Ile stopni ma
∢AEC?
17. Proste o równaniach y - x = 1 i y - 2x = 3 przecinają osie układu współrzędnych w
punktach A,B,C,D. Oblicz pole czworokąta ABCD.
18. Dana jest funkcja, która każdej liczbie naturalnej n przyporządkowuje resztę z
dzielenia tej liczby przez 4. Podaj zbiór wartości tej funkcji. Wykonaj wykres dla
n<15.
19. Suma dwóch liczb naturalnych wynosi 82. Jeżeli jedną z tych liczb podzielimy przez
drugą, to otrzymamy iloraz 10 i pewna resztę. Jakie to liczby?
20. Dziadek i babcia mają razem 140 lat. Po ile lat ma każde z nich, jeżeli dziadek ma dwa
razy tyle, ile miała babcia wtedy, gdy dziadek miał tyle lat, ile babcia ma teraz?
21. Trójkąt prostokątny jest wpisany w okrąg o promieniu 5 cm. Oblicz pole tego
trójkąta, jeżeli jedna z przyprostokątnych jest dwa razy dłuższa od drugiej.
22. Krótsza przekątna dzieli równoległobok o kącie ostrym 450 na dwa trójkąty
prostokątne. Oblicz pole i obwód równoległoboku wiedząc, że dłuższy bok ma
długość 4√2.
23. Do naczynia w kształcie prostopadłościanu o podstawie kwadratowej wlano 150 l
wody zapełniając
jego objętości. Jaka jest krawędź podstawy naczynia, jeżeli
wysokość wynosi 80 cm.
24. Dwa pociągi jadą po równych torach naprzeciw siebie. Jeden z prędkością 60 km/h, a
drugi z prędkością 80 km/h. Pasażer jadący w drugim pociągu zauważył, że pierwszy
pociąg mijał go przez 6 sekund. Jaka jest długość pierwszego pociągu?
25. Matematyk Alkuin (VII-IX w. n.e.) jest autorem takiego zdania: Chart ujrzał zająca w
odległości 150 stóp i ruszył w pogoń. Skok zająca ma 7 stóp, a skok charta wykonany
w tym samym czasie 9 stóp. Po ilu skokach chart dogoni zająca?
26. Odległość miedzy przystanią A i przystanią B statek przepływa z prądem rzeki w
ciągu 5 godzin na przepłyniecie drogi powrotnej zużywa 7 godzin. Ile godzin płynie
woda z przystani A do przystani B?
27. Szybkonogi Achilles rozpoczął pogoń za żółwiem, gdy ten znajdował się sto metrów
od niego. Już po pięciu sekundach dystans między nimi zmniejszył się o połowę. Żółw
zdążył przebiec zaledwie 1 m, gdy Achilles go dogonił. Z jaką prędkością biegł
Achilles, a z jaką prędkością uciekał żółw?
28. W trójkąt równoboczny wpisano kwadrat o boku długości 6 cm. Oblicz pole trójkąta.
29. W kwadracie o boku długości 6 cm ścięto naroża w ten sposób, że powstał ośmiokąt
foremny. Oblicz jego pole i obwód.
30. Gdy w klasie IIIa wszyscy uczniowie są obecni , to liczba chłopców do liczby
dziewcząt jest w stosunku 3 : 4. Pewnego dnia nieobecni byli dwaj chłopcy i jedna z
dziewcząt i wówczas stosunek liczby chłopców i liczby dziewcząt wynosił 2:3. Ile
dziewcząt i ile chłopców jest w tej klasie ?
31. Wnuczek ma tyle miesięcy ile dziadek ma lat. Razem mają 91 lat. Ile lat ma dziadek, a
ile wnuczek?
32. Znajdź wszystkie pary liczb naturalnych, spełniających równanie: x2-y2=24.
33. Kolejka w Lunaparku jeździ w kółko po szynach, które tworzą dwa współśrodkowe
okręgi. Każde koło wagonika ma promień długości 20 cm. Zewnętrzne koło podczas
jednego pełnego okrążenia wykonuje o 4 pełne obroty więcej niż wewnętrzne. Jaki
jest rozstaw szyn kolejki?
34. Babcia przyniosła na targ 100 jajek, które chciała sprzedać za 32 zł. Gdy sprzedała
czwarta część wszystkich jajek, spostrzegła, że część jajek jest popękana. Odłożyła je
zatem na bok i aby zarobić zamierzone 32 zł, resztę jajek sprzedała po 40 gr za sztukę.
Oblicz, ile jajek było popękanych.
35. Pani Asia przejechała trasę dwukrotnie dłuższą niż pan Wojtek w czasie stanowiącym
dwie trzecie jego czasu. Ile razy szybciej jechała?
36. Dane są trzy kolejne liczby naturalne. Uzasadnij, ze iloczyn liczby największej
i najmniejszej jest równy kwadratowi liczby środkowej zmniejszonemu o 1.
37. Uzasadnij, że różnica liczby trzycyfrowej utworzonej z dowolnych kolejnych cyfr i
liczby utworzonej z tych samych cyfr w odwrotnej kolejności jest podzielna przez 9.
38. Dane są liczby:
1
2
7
1
1 (− 3)
3
16
− 75 .
x =1 +
: 0,4 + 0,8 ⋅ (− 2 ) + 7,425 i y = 1 −
2
10
12
9 (0,2)
12
Ile razy liczba przeciwna do y jest większa od x?
39. Które z poniższych wyrażeń ma najmniejszą wartość?

1
1 

a) −
⋅ 0,25 :  0,5 2 ⋅

25
25


 1
0
b) 0,0025 :  −  − 0,5 2 ⋅ (− 24 ) ⋅ − 15
 5
25
4− 9
− 0,5 2 : 0,25 +
c) −
125
25 ⋅ 10 0
1 
1
 1
d) − :  0,5 2 +  ⋅ (− 2 ) :  − 
5 
4
 5
( )
40. Wyrażenie
a
a+3
20
+
− 2
sprowadź do najprostszej postaci.
a + 5 5 − a a − 25
ZDANIA Z FIZYKI
1. Na jaką wysokość doleci pocisk z wiatrówki wystrzelony pionowo w górę z prędkością
początkową 300 m/s. Przyspieszenie ziemskie przyjmij 10 m/s2. Opory powietrza pominąć.
2. Jak długo będzie spadał z wysokości 400 m worek z piaskiem? Proszę pominąć opory ruchu.
Przyspieszenie ziemskie przyjmij 10 m/s2.
3. Jaką odległość pokona urządzenie pchające ze stałą prędkością wózek, z siłą 20N jeśli może
ono wykonać pracę 40kJ? Oblicz moc tego urządzenia jeśli cały proces trwał 40 sekund.
4. Wagon o masie 20 t uderza z prędkością 4 m/s w stojący na bocznicy wagon o masie 40 t. Po
zderzeniu wagony poruszają się razem. Oblicz ich prędkość.
5. Pod wpływem siły ciągu 3500 N samochód porusza się z przyspieszeniem 1,5 m/s2. Siły oporu
wynoszą 500 N. Oblicz masę samochodu.
6. Jaką niezrównoważoną siłą musi działać silnik samochodu o masie 800 kg aby nadać
mu przyspieszenie 1 m/s2?
7. Oblicz ciężar naczynia o masie 0,25 kg, wypełnionego 2l wody. Gęstość wody 1 kg/l.
8. Kamień o masie 2 kg spuszczono z wysokości 40 m. Oblicz wartość pędu kamienia w
momencie uderzenia.
9. Samochodzik zabawka o masie 100 g rusza działając siłą 0,25 N na deseczkę o masie
300 g, która może porusaać się bez tarcia. Oblicz przyspieszenie samochodzika i
przyspieszenie deseczki.
10. Masa pocisku wynosi 20 g. Jaka jest prędkość pocisku opuszczającego lufę karabinu o
masie 5 kg, jeśli uzyskuje on prędkość odrzutu 5 m/s?
11. Na ciało o masie 2 kg działa stała siła o wartości 10 N. Nharysuj wykres zależności
pędu ciała od czasu w zakresie od 0 do 10s jeśli ciało początkowo było w spoczynku.
12. Jaka jest masa sztabki o ciężarze 200N?
13. Wagon o masie 10 t uderza z prędkością 4 m/s w stojący na bocznicy wagon o masie
30 t. Po zderzeniu wagony poruszają się razem. Oblicz ich prędkość.
14. Pod wpływem siły ciągu 2500 N samochód porusza się z przyspieszeniem 1 m/s2. Siły
oporu wynoszą 500 N. Oblicz masę samochodu.
15. Mama wraca z zakupów niosąc 2 torby, jedna o masie 3 kg a druga 2,5kg. Oblicz siłę
z jaką mama naciska na podłoże jeśli jej masa wynosi 60 kg.
16. W wodzie pływa drewniany sześcian o krawędzi 10 cm. Jaka wysokość sześcianu
wystaje nad powierzchnię wody, jeżeli powierzchnie jego ścian bocznych są
prostopadłe do powierzchni wody? Gęstość wody ρw = 1000 kg/m3, gęstość drewna ρd
= 800 kg/m3.
17. Pociąg towarowy o masie 5000 t, jadący z prędkością 72 km/h zahamowano
za
pomocą hamulców. O ile wzrosła energia wewnętrzna hamulców i kół wagonów, o które tarły
te hamulce?
18. Ola wlała ćwierć litra wody o temperaturze 20° C do czajnika o mocy 1000 W. Do ogrzania 1 kg
wody o 1° C potrzeba 4200 J energii. Oblicz, po jakim czasie woda w czajniku osiągnie temperaturę
wrzenia 100° C. Przyjmij, że 1 litr wody ma masę 1 kg, a całe ciepło wydzielane w grzałce jest
pobierane przez wodę. Zapisz obliczenia.
19. Zawodnik podniósł sztangę o masie 50 kg na wysokość 2 m w ciągu 4 s. Jaka była średnia moc
mięśni zawodnika podczas wykonywania tej czynności? Przyjmij wartość g=10m/s2.
20. Przez kaloryfer przepływa w ciągu doby 300 kg wody, zmieniając swoją temperaturę z 80°C na
60°C. 1 kg wody ochładzając się o 1°C oddaje 4,2 kJ ciepła. Ile ciepła oddaje woda w tym kaloryferze
w ciągu doby? Zapisz obliczenia.