SYGNA£Y I SYSTEMY lato 2003

SYGNAŁY I SYSTEMY lato 2004
LISTA 5 - Systemy SLS czasu ciągłego
1 Sprawdzić czy poniższe systemy są liniowe, stacjonarne, z pamięcią i przyczynowe:
t
a) y ( t ) = x ( t ) + 3 x ( t −1) , b) y ( t ) = ∫ x (τ ) dτ , c) y ( t ) = 2 x ( t ) sin ω 0 t
−1
d) y [ n ] = x [ n ] + 2 ( x [ n ]) , e) y [ n ] = x [ n ] + x [ n − 1] , f) y [ n ] = x [ n ]1[ n ]
3
2 W układzie SLS odpowiedź na pobudzenie x(t) z rys. 1a przedstawiona jest na rys. 1b. Wyznaczyć sygnały wyjściowe,
jeżeli sygnały wejściowe mają postać jak na rys. 1c i 1d.
x(t)
y(t)
2
x1(t)
x1(t)
2
2
1
1
Rys. 1a
t
1
t
-1
Rys. 1b
0
1
2
t
0
1
Rys. 1c
2
t
Rys. 1d
-2
3 Wyznaczyć odpowiedź układu przy zerowych warunkach początkowych, jeśli dana jest transmitancja H(s) oraz sygnał
wejściowy x(t):
s+3
s +1
a) H ( s ) = 2
, x ( t ) = 5sin ( t )1( t ) , b) H ( s ) = 2
, x ( t ) = e −2 t 1 ( t ) .
s + 5s + 6
s + 36
4 Stosując twierdzenie o splocie wyznaczyć odwrotną transformatę Laplace’a następujących funkcji wymiernych:
s
1
, b) G ( s ) =
.
a) F ( s ) =
2
2
( s + 1) ( s 2 + 1)
( s + 1)
5 Odpowiedzią systemu SLS na wymuszenie x ( t ) = exp ( −α t )1( t ) jest sygnał y(t). Jeżeli sygnałem wejściowym jest
dx(t)/dt, to sygnał wyjściowy jest równy −3 y ( t ) + exp ( −2t )1( t ) . Wyznaczyć odpowiedź impulsową systemu.
6
Na
wejście
systemu
SLS
podano
x ( t ) = 1( t ) − 1( t − 1) .
sygnał
Na
wyjściu
otrzymano
sygnał
y ( t ) = 1 − exp ( −t )  1( t ) − 1 − exp ( −t + 2 )  1( t − 2 ) . Wyznaczyć i narysować charakterystykę amplitudową i odpowiedź
impulsową. Wyznaczyć sygnał wyjściowy y(t), jeżeli na wejście podano sygnał x ( t ) = 1 + sin (π t ) + cos ( 2π t ) , t ∈ R .
7 Transmitancja systemu SLS jest równa H ( s ) = s ( s + 1) . Zaproponować schemat blokowy tego systemu złożony z
2
bloków typu człon całkujący, człon proporcjonalny, sumator , zawierający możliwie najmniejszą liczbę tych bloków. Napisać
równanie różniczkowe wiążące sygnały wejściowy x(t) z wyjściowym y(t).
8 Odpowiedź jednostkowa systemu SLS jest równa k ( t ) = (1 + 2t ) e − t 1( t ) . Narysować przebieg k(t), wyznaczyć zera i
bieguny transmitancji H(s) oraz wyznaczyć odpowiedź impulsową tego systemu.
1 dy ( t )
= x ( t ) . Wyznaczyć transmitancję H(s) tego filtru.
9 Działanie pewnego filtru jest opisane równaniem y ( t ) +
2 dt
Wyznaczyć i naszkicować charakterystyki częstotliwościowe. Wyznaczyć i naszkicować odpowiedzi impulsową i
jednostkową tego filtru.
10 System o sygnale wejściowym x(t) i wyjściowym y(t) jest analizowany dla t ≥ 0 . Równaniem systemu jest:
•
d 2 y (t )
dx ( t )
+ 4 y (t ) =
, y ( 0 ) = 0, y ( 0 ) = 0
2
dt
dt
Przekształcić równanie systemu do równań stanu, narysować schemat blokowy odpowiadający równaniom stanu, wyznaczyć
transmitancję systemu, narysować charakterystyki amplitudową i fazową, wyznaczyć sygnał na wyjściu systemu dla sygnału
wejściowego x ( t ) = cos ( t ) , t ∈ ( −∞, +∞ ) .
11 Dany jest schemat blokowy pewnego systemu S1 pokazany na rysunku 2a, a ∈ R
x(t)
y(t)
∫
+
x(t)
∫
+
a
∫
+
a
Rys. 2a
∫
b
y(t)
Rys. 2b
Wyznaczyć równanie różniczkowe systemu wiążące sygnał wejściowy x(t) z sygnałem wyjściowym y(t), wyznaczyć
transmitancję systemu S1, jej zera i bieguny, wyznaczyć odpowiedź impulsową systemu S1, wyznaczyć i naszkicować
charakterystyki amplitudową i fazową systemu S1.
Rysunek 2b przedstawia system S2 będący szeregowym połączeniem dwóch systemów o strukturze jak na rysunku 2a oraz
członu całkującego. Wyznaczyć transmitancję systemu S2, oraz zera i bieguny transmitancji.
12 Rysunek 3 przedstawia schemat blokowy pewnego systemu czasu ciągłego. Napisać równanie różniczkowe wiążące
sygnał wejściowy x(t) z sygnałem wyjściowym y(t), wyznaczyć transmitancję tego systemu, zaznaczyć w płaszczyźnie
zespolonej rozkład zer i biegunów transmitancji, wyznaczyć odpowiedź impulsową tego systemu, wyznaczyć i naszkicować
odpowiedź systemu na pobudzenie sygnałem x ( t ) = sin ( t ) ⋅1( t ) .
x(t)
+
+
0.5
∫
-
+
y(t)
2
∫
10
Rys. 3
12
13 Odpowiedź jednostkowa pewnego systemu czasu ciągłego wyraża się wzorem k ( t ) = ( exp(−1 2T ) − exp(−1/ T ) ) ⋅1( t ) ,
gdzie T>0 jest parametrem. Wyznaczyć transmitancję tego systemu, w płaszczyźnie zespolonej naszkicować rozkład zer i
biegunów transmitancji, wyznaczyć odpowiedź impulsową tego systemu, naszkicować schemat blokowy tego systemu. Dla
pewnej wybranej wartości parametru T wykreślić odpowiedzi impulsową i jednostkową tego systemu.
14 System SLS czasu ciągłego pobudzany sygnałem x(t) opisany jest układem równań różniczkowych o zerowych
warunkach początkowych x1 ( 0 ) = x2 ( 0 ) = 0 .
•
x1 = x1 + x0
•
oraz równaniem dla sygnału wyjściowego y(t) o postaci y = −
1
(1 + ε ) x1 + x2
4
x2 = x1 − 3x2
Wyznaczyć transmitancję tego systemu, wyznaczyć równanie różniczkowe wiążące sygnał wyjściowy y(t) z pobudzeniem
x0(t), wyznaczyć odpowiedź impulsową h(t) dla przypadków ε ≠ 0 i ε = 0 .
15 Na rysunku 4 przedstawiono schemat blokowy pewnego systemu.
x(t)
+
+
H1(s)
y(t)
H3(s)
+
Rys. 4
H2(s)
Transmitancje poszczególnych bloków opisane są wzorami H 1 (s ) =
s −1
2
s + 4s + 3
H2 ( s) =
s 3 + 3s 2 + 4 s + 2
s 2 + 2s − 3
s . Wyznaczyć transmitancję systemu, odpowiedź impulsową, równanie systemu, wyznaczyć i naszkicować
s+2
charakterystykę amplitudową systemu.
H 3 (s ) =