Ćwiczenia z Algebry liniowej z geometrią. I rok matematyki z fizyką

Ćwiczenia z Algebry liniowej z geometrią. I rok matematyki z fizyką.
Zestaw 4
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1. Dane są permutacje p =
,r =
.
2 5 6 1 3 4
6 2 4 3 5 1
(a) Obliczyć: p(4), rp(5), r−1 (2), p2 (3).
(b) Wyznaczyć permutacje pr, rp−1 , a następnie każdą z nich rozłożyć na
iloczyn rozłącznych cykli.
(c) Wyznaczyć znak permutacji: p, r, pr, rp−1 .
2. Wyznaczyć znak następujących permutacji.
(a) (i1 i2 i3 . . . in ).
(b) (1, 5, 6, 2)(3, 4).
(c) (i1 i2 )(i3 i4 )(i5 i6 ) . . . (i2n−1 i2n ).
3∗ . Wykazać, że każda permutacja σ zbioru n-elementowego daje się
przedstawić jako pewne złożenie transpozycji postaci (k, k + 1), gdzie k =
1, 2, . . . , n − 1.
4. W grupie S5 rozwiązać równanie:
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
x
=
.
3 1 2 5 4
2 5 4 1 3
4 5 2 3 1