VIII POWIATOWE ZAWODY MATEMATYCZNE – KATEGORIA C 1. Z

VIII POWIATOWE ZAWODY MATEMATYCZNE – KATEGORIA C
Imię i Nazwisko..................................................................
Szkoła..................................................................................
1. Z napełnionego cieczą naczynia o pojemności 102 litrów wypływa w pierwszej
minucie 5 litrów cieczy, a w kaŜdej następnej o 0,25 litra mniej niŜ w poprzedniej.
Po ilu minutach naczynie będzie opróŜnione do połowy?
2. Odległość środka podstawy stoŜka od jego tworzącej, długość wysokości stoŜka oraz
długość tworzącej tworzą ciąg geometryczny. Tworząca stoŜka ma długość 10. Oblicz
objętość stoŜka.
3. Spośród liczb naturalnych od 1 do 100 losujemy liczbę k. Obliczyć
prawdopodobieństwo zdarzenia: liczba k 2 przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1.
4. W urnie znajduje się 8 kul białych i 10 czarnych. Losujemy 4 kule. Obliczyć
prawdopodobieństwo wylosowania przynajmniej jednej pary kul róŜnego koloru.
5. W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym krawędź podstawy ma długość 10,
a krawędź boczna długość 20. Wyznaczyć sinus kąta nachylenia ściany bocznej do
płaszczyzny podstawy.
VIII POWIATOWE ZAWODY MATEMATYCZNE – KATEGORIA C
Imię i Nazwisko..................................................................
Szkoła..................................................................................
1. Wybieramy losowo jedna z liczb 1,2,3,4,…,2n-1, następnie zaś z pozostałych druga.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia: za pierwszym razem wybierzemy liczbę nieparzystą.
2n − 1
2n + 1
A)
B)
n
2n + 1
n
2n − 1
C)
D)
1
2
2. Obliczyć stosunek długości krawędzi czworościanu foremnego do długości jego wysokości.
A)
3.
1
4
1
2
C)
3
2
D)
Student ma zdać dwa egzaminy, z matematyki i fizyki. Prawdopodobieństwo, Ŝe zda matematykę jest
równe 0,5, Ŝe zda co najmniej jeden egzamin 0,8. Oblicz prawdopodobieństwo, Ŝe student zda fizykę,
jeŜeli prawdopodobieństwo, Ŝe zda oba egzaminy jest równe 0,2.
A) 0,5
4.
1
3
B)
B) 0,2
C) 0,6
D) 0,4
Powierzchnia boczna stoŜka po rozcięciu wzdłuŜ tworzącej i ułoŜeniu na płaszczyźnie jest półkolem.
Wynika stąd, Ŝe kąt między tworzącą i osią tego stoŜka jest równy
A)
15 o
B)
30 o
C)
45 o
60 o
D)
5. W ciemnym pokoju stoi 12 róŜnych par butów. Wybieramy po omacku dwa buty.
Prawdopodobieństwo tego, Ŝe wylosowaliśmy buty z jednej pary wynosi
A)
1
24
B)
1
23
1
12
C)
3
7
D)
6. Cztery wierzchołki sześcianu o krawędzi długości a wybrano tak, Ŝe są one wierzchołkami
czworościanu foremnego. Powierzchnia tego czworościanu dzieli sześcian na pięć brył.
Obliczyć ich objętości.
A)
a3 a3
,
3 6
B)
a3 a3
,
2 4
a3 a3
,
3 4
C)
D)
a3 a3
,
2 6
7. Dziesięcioosobowa grupa studencka, w której jest siedmiu męŜczyzn, otrzymała 5 biletów do teatru.
Bilety rozdzielono drogą losowania. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, Ŝe wśród posiadaczy biletów
znajduje się dokładnie trzech męŜczyzn?
A)
0,3
B)
5
7
C)
1
12
5
12
D)
8. Prawdopodobieństwo znalezienia wśród 400 maturzystów dwudziestu urodzonych tego samego dnia
tygodnia jest równe
A) 0
B)
1
20
C)
1
D)
1
7
9. Dwa wylosowane wierzchołki n-kąta (n ≥ 3) traktujemy jako końce odcinka.
Prawdopodobieństwo Ŝe ten odcinek nie jest bokiem wynosi
A)
2
n
B)
n −1
n−3
C)
n−3
n −1
D)
n
n −1
10. Prawdopodobieństwo tego, Ŝe w dziewięciu rzutach monetą liczba uzyskanych orłów jest większa od
liczby uzyskanych reszek jest równe
A)
1
12
B)
1
3
C)
1
2
D)
1
9
1
C
2
D
3
A
4
B
5
B
6
A
7
D
8
C
9
C
10
C
Zadanie 1

 1  n
UłoŜenie równania S n = 2 ⋅ 5 + (n − 1) ⋅  −  = 51
 4  2

1 pkt
Rozwiązanie równania n1 = 24 n2 = 17
1 pkt
Podanie poprawnej odpowiedzi: n = 17
1 pkt
Zadanie 2
Podanie zaleŜności: dl = h 2
1 pkt
d r
l 2 − h2
= =
h l
l
dl = h l 2 − h 2
⇓
Wykorzystanie podobieństwa:
1 pkt
h = l 2 − h2
l=h 2
Obliczenie V
r=h
1 pkt
Zadanie 3
Wyznaczenie A = 50
4 p + 1 : 1,5,9,13,...
2 pkt
4 p + 3 : 3,7,11,...
Obliczenie: P ( A) =
50 1
=
100 2
1 pkt
Zadanie 4
18 
Obliczenie Ω =  
4 
 8  10 
Obliczenie A' =   +  
 4  4 
Obliczenie P ( A) =
139
153
1 pkt
1 pkt
1 pkt
Zadanie 5
Obliczenie wysokości ściany bocznej: h = 5 15
1 pkt
Obliczenie wysokości ostrosłupa: H = 10 3
1 pkt
Obliczenie sinusa: sin α =
2 5
5
1 pkt