ZADANIA - seria 12. 12.1. Udowodnij, ˙ze torus

ZADANIA - seria 12.
12.1. Udowodnij, że torus, zdefinioany jako kwadrat z utożsamionymi przeciwleglymi bokami jest homeomorficzny z S 1 × S 1 .
12.2. Udowodnij,że torus jest rozmaitóścia, 2-wymiarowa,.
12.3. Czy istnieje przeksztalcenie cia,gle i na R2 → S 1 × S 1 ? A na odwrót?
12.4. Udowodnij, że S n−1 = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn | x21 + · · · + x2n = 1} jest
rozmaitościa, (n-1)-wymiarowa,.
12.5. Jaka, przestrzeń otrzymamy po wycie,ciu dysku z plaszczyzny rzutowej?
12.6. Jaka, przestrzeń otrzymamy jako sume, spójna, 2 plaszczyzn rzutowych?
12.7. Jaka, przestrzeń otrzymamy, jako przestrzeń ilorazowa, 8-ka,ta foremnego,
z utożsamieniami zaznaczonymi poniżej?
12.8. Stosuja,c indukcje, po n, udowodnij naste,puja,cy lemat. Niech {Ui }ni=1
be,dzie skończonym pokryciem przestrzeni normalnej X. Wtedy istnieje skończone
prokrycie {Vi }ni=1 przestrzeni X, takie, że Vi ⊂ Ui .
12.9. Jeśli dana, rozmaitość 2-wymiarowa, przestawimy jako jako przestrzeń
powstala, ze sklejenia pewnej ilości trójka,tów (takie przedstawienie nazywamy triangulacja,),
to przy oznaczeniach V - ilość wierzcholków, E - ilość krawe,dzi, i F - ilość scian,
wyrażenie V −E+F jest niezmiennikiem topologicznym. Nazywamy go charakterystyka,
Eulera danej rozmaitósći. Znajdź charakterystyke, Eulera sfery 2-wymiarowej.
12.10. Bryle wypukla, nazywamy bryla, Platońska,, jeśli wszystkie jej ściany
sa, figurami przystaja,cymi i z każdego wierzcholka wychodzi tyle samo krawe,dzi.
Udowodnij, że istnieje dokladnie 5 bryl Platońskich.
Typeset by AMS-TEX
1