Przestrzenie topologiczne. Metryzowalność - PDF 48kb

ROZDZIAl 7
Przestrzenie topologiczne.
Metryzowalność
Pojeciem ogólniejszym od przestrzeni metrycznej jest przestrzeń
‘
topologiczna. Punktem wyjścia do jej definicji sa wlasności zbiorów
‘
otwartych wyrażone w Stwierdzeniu 3.1.
Definicja 7.1. Zbiór X z wyróżniona rodzina T jego podzbiorów
‘
‘
nazywamy przestrzenia topologiczna, gdy
‘
‘
(1) ∅, X ∈ T ,
(2) suma dowolnej ilości zbiorów z rodziny T jest też zbiorem tej
rodziny,
(3) przekrój skończonej ilości zbiorów z rodziny T jest zbiorem
należacym do T .
‘
Rodzine T nazywamy topologia lub rodzina wszystkich zbiorów ot‘
‘
‘
wartych w zbiorze X. Otoczeniem punktu x ∈ X nazywamy dowolny
zbiór otwarty w X, zawierajacy x.
‘
Tak samo, jak w przypadku przestrzeni metrycznych, definiujemy
zbiory domkniete, domkniecie, wnetrze, zbiory brzegowe, geste, nig‘
‘
‘
‘
dziegeste; w zwiazku z tym ich podstawowe wlasności mnogościowe sa
‘
‘
‘
takie same, jak w przestrzeniach metrycznych.
Przez podprzestrzeń przestrzeni topologicznej X rozumiemy jej dowolny podzbiór Y , w którym topologia jest rodzina wszystkich zbiorów
‘
postaci U ∩ Y , gdzie U jest zbiorem otwartym w X (zgadza sie to,
‘
jak widać, z wlasnościa podprzestrzeni metrycznych wyrażona wzorem
‘
‘
(3.3)).
Przeksztalcenia ciagle miedzy przestrzeniami topologicznymi, to fun‘
‘
kcje, dla których przeciwobrazy zbiorów otwartych sa otwarte (por.
‘
stwierdzenie 4.1). Homeomorfizmy—to przeksztalcenia wzajemnie jednoznaczne ciagle, których przeksztalcenia odwrotne też sa ciagle, a
‘
‘ ‘
przestrzenie topologiczne sa homeomorficzne, gdy istnieje miedzy nimi
‘
‘
homeomorfizm.
43
44
7.
PRZESTRZENIE TOPOLOGICZNE. METRYZOWALNOŚĆ
Ale trzeba tu zaznaczyć, że nie wszystkie wlasności przestrzeni metrycznych, które dadza sie sformulować w terminach zbiorów otwar‘ ‘
tych, badż wymienionych przed chwila pojeć, musza zachodzić w prze‘
‘
‘
‘
strzeniach topologicznych. Przykladami tego rodzaju wlasności sa, tak
‘
zwane, aksjomaty oddzielania. Jednym z nich jest nastepujacy aksjo‘
‘
mat Hausdorffa oznaczany czasem symbolem T2 .
Definicja 7.2. Przestrzeń topologiczna X z topologia T spelnia
‘
aksjomat Hausdorffa, gdy każde dwa różne punkty przestrzeni X maja
‘
rozlaczne otoczenia. Taka przestrzeń nazywamy krócej przestrzenia
‘
‘
‘
Hausdorffa .
Każda przestrzeń metryczna (X, ρ) jest przestrzenia Hausdorffa,
‘
bo jeśli x, y ∈ X sa różne i r = 21 ρ(x, y), to kule K(x; r), K(y; r) sa
‘
‘
rozlacznymi otoczeniami punktów x, y.
‘
Przyklad 7.1. Niech X bedzie dowolnym zbiorem zawierajacym
‘
‘
przynajmniej dwa punkty, a T = {∅, X}, bedzie jego topologia. Latwo
‘
‘
zauważyć, że przestrzeń X nie jest Hausdorffa. Jest ona wiec najprost‘
szym przykladem przestrzeni topologicznej, w której nie istnieje metryka generujaca rodzine zbiorów otwartych równa topologii T .
‘
‘
‘
Definicja 7.3. Przestrzeń topologiczna X z topologia T jest me‘
tryzowalna, gdy istnieje metryka ρ w X, która generuje topologie równa
‘
‘
topologii T ; innymi slowy, każda kula w przestrzeni metrycznej (X, ρ)
należy do topologii T oraz każdy zbiór z T jest suma takich kul.
‘
Jeśli przestrzeń topologiczna z topologia T jest metryzowalna, to
‘
oczywiście metryka, generujaca T nie jest jedyna, ale ze Stwierdze‘
nia 5.1 wynika, że każde dwie takie metryki musza być równoważne.
‘
Aksjomat Hausdorffa (również inne aksjomaty oddzielania, nie omawiane tutaj) jest warunkiem koniecznym metryzowalności, a przestrzeń
topologiczna opisana w powyższym przykladzie nie jest metryzowalna.
Warto zauważyć, że przestrzeń topologiczna homeomorficzna z przestrzenia metryzowalna też jest metryzowalna—jej metryke można bez‘
‘
‘
pośrednio i w naturalny sposób określić przy pomocy homeomorfizmu i
to w taki sposób, by dany homeomorfizm stal sie izometria (zob. 5.2).
‘
‘
Jednym z glównych zadań dziedziny matematyki zwanej topologia
‘
ogólna jest formulowanie warunków koniecznych lub dostatecznych me‘
tryzowalności przestrzeni topologicznych.
ĆWICZENIA
45
Ćwiczenia
(1) Sprawdzić, że w podprzestrzeni Y ⊂ X przestrzeni topologicznej X
domkniecie zbioru A ⊂ Y jest postaci clY A = (clX A) ∩ Y oraz, że
‘
gdy X jest metryzowalna przez metryke ρ, to Y jest metryzowalna
‘
przez metryke ρ Y × Y .
‘
(2) Udowodnić, że jeśli przestrzeń topologiczna X jest metryzowalna, to dla każdego punktu x ∈ X istnieje ciag jego otoczeń Un ,
‘
n ∈ N, takich, że dla dowolnego otoczenia U punktu x znajdzie
sie n takie, że Un ⊂ U (ta wlasność przestrzeni metryzowalnych
‘
nazywa sie pierwszym aksjomatem przeliczalności lub posiadaniem
‘
bazy przeliczalnej w każdym punkcie x.
(3) Niech X bedzie zbiorem wszystkich liczb porzadkowych mniejszych
‘
‘
lub równych pierwszej nieprzeliczalnej liczbie ω1 . Zbiór ten jest
dobrze uporzadkowany przez relacje porzadku liniowego ≺. W
‘
‘
‘
X wprowadzamy tak zwana topologie porzadkowa przyjmujac za
‘
‘
‘
‘
‘
zbiory otwarte w X wszystkie przedzialy postaci
(α, β) = {γ : α ≺ γ ≺ β},
[0, α) = {γ : γ ≺ α}
i
(α, ω1 ] = {γ : α ≺ γ ω1 }
oraz dowolne ich sumy.
Sprawdzić, że tak określona rodzina zbiorów otwartych jest
topologia Hausdorffa w X oraz, że otrzymana przestrzeń topo‘
logiczna nie ma bazy przeliczalnej w punkcie ω1 ; na podstawie
poprzedniego zadania, oznacza to niemetryzowalność przestrzeni
X.
(4) Sprawdzić, że aksjomat Hausdorffa, posiadanie bazy przeliczalnej
w każdym punkcie oraz metryzowalność przestrzeni topologicznych
sa niezmiennikami homeomorfizmów.
‘
(5) Wykazać, że jeśli X, Y sa przestrzeniami topologicznymi, f, g :
‘
X → Y sa ciagle i Y ∈ T2 , to zbiór
‘ ‘
{ x ∈ X : f (x) = g(x) }
jest domkniety w X.
‘
(6) Udowodnić, że jeśli f : D → Y jest ciage, D ⊂ Y jest gesty w X,
‘ ‘
‘
a przestrzeń Y spelnia aksjomat T2 , to f można przedlużyć na X
co najwyżej na jeden sposób.
(7) Udowodnić, że przestrzeń X jest Hausdorffa wtedy i tylko wtedy,
gdy przekatna ∆ = { (x, x) : x ∈ X } jest domknieta w X × X.
‘
‘