4. Nierówność Craméra - Rao Zadanie 1. Niech X 1,...,Xn będzie

4. Nierówność Craméra - Rao
Zadanie 1. Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą losową prostą z rozkładu N (µ, σ 2 ). Oblicz
informację Fishera In (θ) dla:
a) θ = µ ∈ R,
b) θ = σ > 0,
c) θ = σ 2 > 0.
Ile wynosi informacja Fishera I(θ) zmiennej losowej X z rozważanego rozkładu w przypadku a), b) i c)?
Zadanie 2. Na podstawie nierówności Craméra - Rao wyznacz dolne ograniczenie dla
wariancji nieobciążonego estymatora wariancji σ 2 w rozkładzie N (0, σ 2 ).
Zadanie 3. Niech X1 , . . . , Xn będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym
rozkładzie dwumianowym B(1, p). Pokaż, że X̄n realizuje dolne ograniczenie w nierówności Craméra - Rao. Jaka własność X̄n stąd wynika?
Zadanie 4. Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą losową prostą z rozkładu P oiss(λ). Rozważmy estymator nieobciążony o minimalnej wariancji (ENMW) funkcji g(λ) = P (X1 =
0) postaci
n
P
X
1 i=1 i
.
T (X1 , . . . , Xn ) = 1 −
n
Sprawdź, czy wariancja tego estymatora osiąga dolne ograniczenie w nierówności Craméra
- Rao i wysuń odpowiednie wnioski.
Zadanie 5. Niech X = (X1 , . . . , Xn ) będzie próbą prostą z rozkładu jednostajnego
U (0, θ). Udowodnij, że statystyka
T (X) =
n+1
Xn:n
n
jest nieobciążonym estymatorem parametru θ. Pokaż, że estymator ten jest superefektywny.
Zadanie 6. Niech X = (X1 , . . . , Xn ) będzie próbą prostą z rozkładu N (µ, σ 2 ). Wyznacz
parametr a tak, aby estymator
T (X) = a
n
X
|Xi − µ|
i=1
był estymatorem nieobciążonym parametru σ. Oblicz jego efektywność.
1