Matematyczne Metody Fizyki/Algebra - ćwiczenia

Matematyczne Metody Fizyki/Algebra - ćwiczenia
WFiIS - Informatyka Stosowana Irok/gr.1 - I semestr
Zestaw nr 5a na zajęcia w dniu 28.11.2011
Zad.1 Dane są następujące wektory:
⃗b=[ 2, 3, 0]
a =[−1, 0, 2]
⃗
⃗c =[1,−1, 2]
Obliczyć następujące wyrażenia:
(2 ⃗
a −⃗b)⋅2 ⃗c
(⃗a ×⃗
b)⋅⃗c
⃗a ×( ⃗b−2 ⃗c )
(⃗
a ×⃗b)×⃗
a
Zad.2 Dane są następujące trzy wektory:
⃗b=[ 0,1, 1]
a =[ 1,0, 1]
⃗
Sprawdzić jaki kąt tworzy wektor
⃗c
⃗c =[1,1, 0]
z płaszczyzną, w której leżą wektory
a
⃗
i
⃗
b
. Sprawdzić
czy istnieją takie współczynniki α,β że: ⃗
c =α ⃗a +β ⃗b . Pokazać, że takie współczynniki istnieją
tylko wtedy gdy wektory leża w jednej płaszczyźnie, co jest równoważne warunkowi: .
(⃗
a ×⃗b)⋅⃗c =0
Dla wektora
d⃗ =[1, 2, 1 ]
znaleźć α,β,γ takie, dla których spełniona jest relacja:
d⃗ =α ⃗a +β ⃗b+γ ⃗c
Zad.3 Dane są cztery punkty w przestrzeni trójwymiarowej:
A(-1,2,4)
B(1,4,-1)
C(3,1,3)
D(0,-2,2)
tworzące czworościan (można spróbować go narysować). Korzystając z poznanych działań na
wektorach proszę:
• znaleźć wzajemne kąty między krawędziami AB, AC i AD
• znaleźć wektor łączący środki odcinków AB i CD oraz obliczyć jego długość
• znaleźć wektor prostopadły do płaszczyzny BCD (musi on tworzyć kąt prosty ze wszystkimi
wektorami leżącymi w tej płaszczyźnie)
• znaleźć kosinusy kierunkowe dla wektora z poprzedniego punktu
Zad.4 Dana jest płaszczyzna w trzech wymiarach 2x + 3y + 2z = 4. Znaleźć odległość tej
płaszczyzny o punktu (0,0,0). Zbudować równanie prostej prostopadłej do tej płaszczyzny i
przechodzącej przez punkt (2,0,0). Znaleźć odległość tej prostej od punktu (0,0,0).