Wykład 1 (22 II 2012) Geometria tworów liniowych

Wykład 1 (22 II 2012)
Geometria tworów liniowych
Treść wykładu.
Wprowadzenie do geometrii płaszczyzny i przestrzeni
Metoda Kartezjusza w geometrii — wprowadzenie współrzędnych
Przesunięcia w przestrzeni, ogólne pojęcie rozmaitości afinicznej stowarzyszonej z przestrzenią
liniową.
Przestrzeń kierunkowa rozmaitości afinicznej i jej interpretacja, równoległość rozmaitości afinicznych.
Równania prostej i płaszczyzny;
Płaszczyzna w R3 — równanie wyznacznikowe i równania (przedstawienie) parametryczne. Wzajemne położenie prostych i płaszczyzn.
Długość wektora na płaszczyźnie kartezjańskiej (wzór Kartezjusza, tw. Piragorasa)
Iloczyn skalarny w R2 i R3 ; definicja kąta między wektorami na płaszczyźnie
1.1
Wstęp — koncepcja Kartezjusza geometrii analitycznej
Kartezjusz (René Descartes, 1596-1650) w dziele La Geometrie wydanym w 1637 wprowadził do geometrii metody badawcze, które umożliwiają wykorzystanie algebraicznego podejścia do problemów geometrii, co zaowocowało powstaniem tak zwanej geometrii analitycznej. W największym skrócie metoda
ta polega na przypisaniu każdemu punktowi płaszczyzny (przestrzeni) uporządkowanej pary (trójki)
liczb rzeczywistych, nazywanych jego współrzędnymi, opisujących jego położenie względem ustalonego
prostokątnego układu osi.
W ten sposób powstaje bijekcja:
(Płaszczyzna Euklidesa) Π ∋ p ←→ (x1 , x2 ) ∈ R2
(płaszczyzna Kartezjusza)
Punkt odpowiadający wektorowi 0 = (0, 0) przestrzeni kartezjańskiej R2 jest punktem przecięcia osi
współrzędnych nosi nazwę początku układu współrzędnych. Można go wybrać dowolnie.
Kartezjusz wprowadził także używaną obecnie notację indeksową x1 , x2 , x3 , . . . oraz zwyczaj używania ostatnich liter alfabetu — x, y, z, . . . dla oznaczania niewiadomych i początkowych liter —
a, b, c, . . . dla znanych wielkości.
5
6
ALiGA — Wykład 1.
1.2
Twory liniowe
Nieco archaiczne określenie „Twory liniowe” nawiązuje do tradycyjnej terminologii geometrii analitycznej — np. M. Stark w monografii Geometria analityczna, Warszawa — Wrocław 1951 używa określenia
„twór geometryczny” jako synonimu określenia „zbiór punktów”.
1.2.1
Przesunięcia i rozmaitości afiniczne w przestrzeni Rn
Definicja 1.1 (Przesunięcie w przestrzeni Rn )
Z dowolnie wybranym wektorem v ∈ Rn związane jest odwzorowanie
Rn ∋ x 7→ x + v ∈ Rn
(1.1)
nazywane przesunięciem o wektor v i oznaczane symbolem τv .
Mamy zatem τv (x) = x + v dla każdego x ∈ Rn . Każde przesunięcie jest bijekcją Rn , a ponadto
łatwo się przekonać, że złożenie przesunięcia o wektor v z przesunięciem o wektor w jest przesunięciem
odpowiadającym wektorowi v + w;
τv ◦ τw = τv+w .
Kapitalną własność przesunięć odsłania następująca obserwacja — z każdą parą punktów p, q ∈ Rn
związany jest jednoznacznie wyznaczony wektor v ∈ Rn , taki że przesunięcie o wektor v przenosi punkt
p na punkt q, inaczej mówiąc, taki że τv (p) = q. Taki wektor nazywamy wektorem przesunięcia od punktu
→
p do punktu q i często oznaczamy pq. Z równania (1.1) wynika, że współrzędne wektora przesunięcia
→
v =pq wyrażają się równościami
v1 = q1 − p1 ,
v2 = q2 − p2 ,
v3 = q3 − p3 ,
..
..
.
.
vn = qn − pn .
(1.2)
Definicja 1.2 (Rozmaitość afiniczna)
Obraz podprzestrzeni liniowej V ⊂ Rn pod działaniem przesunięcia o dany wektor v nosi ogólną nazwę rozmaitości afinicznej stowarzyszonej z V , a samą V określa się nazwą przestrzeni kierunkowej
rozmaitości.
Jeśli dim V = 1, to rozmaitość afiniczną stowarzyszoną z V będziemy nazywać prostą w Rn .
Jeśli dim V = n − 1, to rozmaitość afiniczną stowarzyszoną z V będziemy nazywać hiperpłaszczyzną w
Rn .
Uwaga. W przestrzeni dwuwumiarowej R2 definicje hiperpłaszczyzny i prostej pokrywają się.
W przestrzeni R3 hiperpłaszczyznę zwykle nazywa się płaszczyzną.
Opis tych tworów liniowych uzyskujemy przez bezpośrednie zastosowanie teorii układów liniowych.
A. Strasburger — Konspekt wykładów ALiGA (przygotowany 29 lutego 2012 roku)
1.2.2
7
Równania płaszczyzny i prostej w przestrzeni R3
Twierdzenie 1 (Równania ogólne prostych i płaszczyzn)
Zbiór punktów przestrzeni R2 spełniających równanie
a1 x1 + a2 x2 = b,
gdzie a1 , a2 , b ∈ R,
a21 + a22 6= 0,
(1.3)
jest prostą w R2 .
Analogicznie, zbiór punktów przestrzeni R3 spełniających równanie
a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 = b,
gdzie a1 , a2 , a3 , b ∈ R,
a21 + a22 + a23 6= 0,
(1.4)
jest płaszczyzną w R3 .
Równanie (1.3) nazywa się równaniem ogólnym prostej w R2 , a analogiczne równanie (1.4) — równaniem ogólnym płaszczyzny w R3 .
Z rozważanej wcześniej teorii ukladów równań liniowych wnioskujemy, że w obu powyższych przypadkach zbiór rozwiązań równania jednorodnego
a1 x1 + a2 x2 = 0,
odpowiednio,
a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 = 0,
jest przestrzenią kierunkową prostej, odpowiednio, płaszczyzny. Zauważmy, że przestrzeń kierunkowa
prostej jest wyznaczona jednoznacznie przez dowolny różny od zera wektor należący do tej przestrzeni
— o takim wektorze będziemy mówili, że jest to wektor kierunkowy prostej.
Proste (płaszczyzny) o tej samej przestrzeni kierunkowej są nazywane równoległymi.
Z tego względu o niezerowym wektorze należącym do przestrzeni kierunkowej prostej, odpow. płaszczyzny mówimy, że jest do niej równoległy.
Prosta jest wyznaczona jednoznacznie przez dowolne dwa (różne) jej punkty, a płaszczyzna przez
dowolne trzy niewspółliniowe punkty. Punkty p1 , p2 , p3 są niewspółliniowe, w. i t. w. gdy wektory
→
→
v1 =p1 p3 , v2 =p2 p3 są liniowo niezależne.
Twierdzenie 2 (Równanie płaszczyzny w R3 )
Jeśli punkty p1 = (p11 , p12 , p13 ), p2 = (p21 , p22 , p23 ), p3 = (p31 , p32 , p33 ) ∈ R3 nie są współliniowe, to płaszczyzna przechodząca przez te punkty jest opisana równaniem:
x1
p1
1
2
p1
p3
1
x2
p12
p22
p32
x3
p13
p23
p33
1
1
=0
1
1
(1.5)
Wypisanie równania (1.5) w jawnej postaci pozostawiamy czytelnikowi.
Przykład 1.2.1 Przez punkty p1 = (1, 0, 0), p2 = (0, 1, 0), p3 = (0, 0, 1) ∈ R3 przechodzi płaszczyzna o równaniu
x1
1
0
0
x2
0
1
0
x3
0
0
1
1
1
= x1 + x2 + x3 − 1 = 0.
1
1
W przypadku przestrzeni R3 prosta jest opisana przez układ dwóch równań.
8
ALiGA — Wykład 1.
Twierdzenie 3 (Równania prostej w przestrzeni R3 ) Jeśli układ równań
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 = b1 ,
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 = b2 ,
(1.6)
jest niesprzeczny oraz rząd macierzy współczynników układu A = [aij ] ∈ M2×3 (R) jest równy 2, to zbiór
wszystkich rozwiązań tego układu równań liniowych jest prostą w przestrzeni R3 .
Układ równań (1.6) nazywamy układem krawędziowym równań prostej.
Przestrzenią kierunkową tej prostej będziemy nazywać przestrzeń rozwiązań układu jednorodnego
odpowiadającego układowi (1.6) — z warunku nałożonego na rząd macierzy współczynników wynika,
że przestrzeń kierunkowa prostej jest jednowymiarowa.
Także i w tym przypadku będziemy mówili, że dwie proste w R3 są równoległe, jeśli mają tę samą
przestrzeń kierunkową. Czytelnikowi proponujemy zastanowienie się, jak sformułować warunek równoległości dwóch prostych za pomocą ich równań krawędziowych.
1.3
Długości, odległości i kąty na płaszczyźnie
Długość wektora x = (x1 , x2 ) z płaszczyzny R2 jest dana przez wyrażenie
|x| =
q
x21 + x22 ,
(1.7)
którego wprowadzenie także przypisuje się Kartezjuszowi. Wzór ten można interpretować jako zapis
twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego o wierzchołkach w punktach 0 = (0, 0) (środek
układu współrzędnych), (x1 , 0) i (x1 , x2 ) i długościach przyprostokątnych równych |x1 | i |x2 |.
Z kolei odległość między punktami x = (x1 , x2 ) i y = (y1 , y2 ) na płaszczyżnie dana jest wzorem
d(x, y) = |x − y| =
q
(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2
Dla kwadratu odległości otrzymujemy, po podniesieniu do kwadratu wyrażeń w nawiasach pod pierwiastkiem
|x − y|2 = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 = x21 + x22 + y12 + y22 − 2(x1 y1 + x2 y2 )
czyli
|x − y|2 = |x|2 + |y|2 − 2(x1 y1 + x2 y2 ).
Zinterpretujmy to wyrażenie używając zespolonej reprezentacji płaszczyzny — modelu Gaussa–Arganda.
Punktom x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) przyporządkowane są liczby zespolone x = x1 + x2 i, y = y1 + y2 i i
zgodnie z regułami mnożenia liczb zespolonych otrzymujemy
x · y = x1 y1 + x2 y2 + (x2 y1 − x1 y2 )i.
Po wyrażeniu czynników iloczynu w postaci trygonometrycznej
x = x1 + x2 i = |x|(cos φ + i sin φ),
y = y1 + y2 i = |y|(cos θ + i sin θ)
i użyciu wzoru dla iloczynu liczb zespolonych danych w postaci trygonometrycznej otrzymamy
Re x · y = x1 y1 + x2 y2 = |x||y|(cos φ cos θ − sin φ sin θ)
czyli
x1 y1 + x2 y2 = |x||y| cos(φ − θ).
A. Strasburger — Konspekt wykładów ALiGA (przygotowany 29 lutego 2012 roku)
9
Oznaczając przez ϕ kąt o wierzchołku w 0 = (0, 0) i ramionach utworzonych przez wektory x i y możemy
ostatecznie napisać
x1 y1 + x2 y2 = |x| |y| cos ϕ.
(1.8)
Definicja 1.3 (Iloczyn skalarny w przestrzeni R2 )
Niech x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) będą dwoma wektorami z przestrzeni R2 . Liczbę
x · y = x1 y1 + x2 y2
(1.9)
nazywamy iloczynem skalarnym wektorów x, y ∈ R2 .
Jeśli żaden z wektorów x i y nie jest równy zeru, to kąt ϕ między nimi określamy zależnością
x·y
= cos ϕ,
|x||y|
(1.10)
przyjmując dla jednoznaczności, że 0 ¬ ϕ ¬ π.
Mówimy, że wektory x i y są prostopadłe (ortogonalne), gdy x · y = 0.
Przykład 1.3.1 Niech v = (v1 , v2 ) ∈ R2 będzie niezerowym wektorem. Poszukajmy wektorów w = (w1 , w2 ) ortogonalnych do v. Jeśli
v · w = v1 w1 + v2 w2 = 0,
i na przykład v1 6= 0, to współrzędne w spełniają zależność
w1 = −
v2
w2 ,
v1
czyli w = (−
v2
w2
w2 , w2 ) =
(−v2 , v1 ).
v1
v1
Inaczej mówiąc, wektory ortogonalne do v = (v1 , v2 ) są postaci w = λ(−v2 , v1 ), gdzie λ ∈ R. Jeśli v1 = 0 ale v2 6= 0, to
w2 = 0 i również możemy zapisać wektor ortogonalny do v w postaci w = (w1 , 0) = λ(−v2 , v1 ). Ogólnie więc
(v1 , v2 ) ⊥ (w1 , w2 )
1.3.1
wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnej stałej λ ∈ R
w1 = −λv2 , w2 = λv2 .
Prostopadłość prostych na płaszczyźnie
Na płaszczyźnie dwie nierównoległe proste mają dokładnie jeden punkt wspólny — punkt przecięcia
tych prostych. Przyjmujemy następujące określenie.
Definicja 1.4 (Proste prostopadłe) Będziemy mówić, że proste na płaszczyźnie są prostopadłe, gdy
wektor kierunkowy jednej prostej jest prostopadły do wektora kierunkowego drugiej prostej.
Zauważmy, że warunek ten jest niezależny od wyboru wektorów kierunkowych rozważanych prostych.
Jeśli przy jakimś wyborze wektorów kierunkowych v1 , v2 danych prostych zachodzi v1 · v2 = 0, to przy
każdym innym wyborze wektorów kierunkowych tych prostych zachodzi także taka sama równość.
Jesli dane proste są opisane przez równania w postaci ogólnej (1.3),
a1 x1 + a2 x2 = b,
odpowiednio
A1 x1 + A2 x2 = B,
to l1 jest prostopadła do l2 wtedy i tylko wtedy, gdy a1 A1 +a2 A2 = 0. Rzeczywiście, wektory kierunkowe
tych prostych sa rozwiązaniami równania a1 x1 + a2 x2 = 0 i odpowiednio A1 x1 + A2 x2 = 0, a zatem
mają postać v1 = λ(−a2 , a1 ) i odpowiednio v1 = µ(−A2 , A1 ) ze współczynnikami λ 6= 0 i µ 6= 0. Stąd
v1 · v2 = λµ(a1 A1 + a2 A2 ) = 0
wtedy i tylko wtedy, gdy
a1 A1 + a2 A2 = 0.
10
ALiGA — Wykład 1.
Ten ostatni warunek można, pomijając przypadek, gdy jedna z prostych jest równoległa do osi Ox2 ,
wyrazić za pomocą współczynników kierunkowych prostych w znanej ze szkoły średniej postaci
a2
A1
=− .
A2
a1
Wykład 2 (29 II 2012)
Geometria metryczna w wielu wymiarach
2.1
Iloczyn skalarny w przestrzeni kartezjańskiej Rn
Definicja 2.1 (Norma, odległość i iloczyn skalarny w Rn )
Normą lub długością wektora x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn nazywamy liczbę nieujemną oznaczaną |x| i
określoną wzorem
|x| =
q
x21
+ ...+
x2n
=
X
n
j=1
x2j
1
2
.
(2.1)
Iloczynem skalarnym wektorów x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) z przestrzeni Rn nazywamy liczbę
oznaczaną x · y i określoną wzorem
x·y =
n
X
xj yj .
(2.2)
j=1
Odległością punktów x, y przestrzeni Rn nazywamy liczbę
d(x, y) = |x − y| =
X
n
(xj − yj )2
j=1
1
2
.
(2.3)
Pierwsze z powyższych określeń wprowadza funkcję Rn ∋ x → |x| ∈ R, którą będziemy nazywać
normą (euklidesową) w przestrzeni Rn .
Dwa pozostałe określenia dotyczą uporządkowanych par punktów (x, y) ∈ Rn × Rn i dlatego należy
je traktować jako definicje pewnych funkcji określonych na zbiorze Rn × Rn Obie te funkcje przyjmują
wartości w ciele skalarów (liczb rzeczywistych R). Są to:
Rn × Rn ∋ (x, y) 7→ d(x, y) ∈ R :
Rn × Rn ∋ (x, y) →
7 x·y ∈R:
metryka euklidesowa w przestrzeni Rn ,
iloczyn skalarny w przestrzeni Rn .
(2.4)
(2.5)
Między tymi pojęciami istnieją bezpośrednie zależności, pozwalające na wyrażenie jednej z nich przez
pozostałe, na co zwróciliśmy już uwagę w dyskusji odnoszącej się do przypadku płaszczyzny. W bardziej
systematyczny sposób ujmuje to następujące Stwierdzenie.
Stwierdzenie 1 Dla dowolnych x, y ∈ Rn zachodzą równości
2
|x| = x · x,
!
1
x·y =
|x + y|2 − |x − y|2 .
4
11
(2.6)
12
ALiGA — Wykład 2.
Będzie nam bardzo wygodnie zapisywać iloczyn skalarny wektorów w formie iloczynu macierzowego:
x1
 
 x2 

Jeżeli x = 
 ..  ,
 . 


xn
y1
 
 y2 

y=
 ..  ,
 . 


to xt y =
yn

i

h
x1 , x2 , . . . , xn 


y1
y2
..
.
yn






=
n
X
xi yi = x · y.
i=1
W następujących bezpośrednio poniżej twierdzeniach opisane są najważniejsze własności iloczynu
skalarnego i normy pierwszych z tych podstawowych dla geometrii funkcji, a omówienie własności odległości odłożymy do następnego wykładu.
Twierdzenie 4 (Algebraiczne własności iloczynu skalarnego w Rn )
a) Odwzorowanie
Rn × Rn ∋ (x, y) 7→ x · y =
n
X
xj yj ∈ R,
(2.7)
j=1
spełnia dla każdych x, y, v ∈ Rn i α, β ∈ R warunki:
i)
ii)
x · y = y · x,
(symetria)
(αx + βy) · v = α(x · v) + β(y · v),
v · (αx + βy) = α(v · x) + β(v · y),
(liniowość wzg. każdego argumentu z osobna)
iii)
x · x ­ 0 ∀ x ∈ Rn oraz x · x = 0 ⇐⇒ x = 0,
(dodatnia określoność).
(2.8)
n
b) Dla dowolnych wektorów x, y ∈ R jest spełniona nierówność Schwarza
|x · y| ¬ |x||y|,
(2.9)
przy czym równość zachodzi w (2.9) wtedy i tylko wtedy, gdy wektory x i y są współliniowe.
Sumarycznie określa się własności i)–iii) mówiąc, że odwzorowanie (2.7) jest symetryczną i dodatnio określoną formą dwuliniową na przestrzeni Rn .
Nierówność Schwarza można też jawnie wyrazić za pomocą współrzędnych wektorów x i y. Przybierze ona wówczas postać klasycznej nierówności nazywanej nierównością Cauchy’ego–Buniakowskiego–
Schwarza.
Wniosek 1 Dla dowolnych układów liczb rzeczywistych x1 , . . . , xn , y1 , . . . , yn zachodzą nierówności
X
n
xj yj j=1
¬
n
X
j=1
|xj yj | ¬
v
v
u n
uX
uX
u n
t
x2 t y 2.
i
i=1
j
(2.10)
j=1
Twierdzenie 5 (Własności normy w Rn )
Norma Rn ∋ x 7→ |x| ∈ R określona wzorem (2.1) ma własności:
i)
ii)
iii)
|0| = 0, oraz |x| > 0 dla każdego x 6= 0, x ∈ Rn
(dodatnia określoność)
n
|ax| = |a| |x|, dla każdych a ∈ R, x ∈ R ,
(bezwzględna jednorodność)
n
|x + y| ¬ |x| + |y|, dla każdych x, y ∈ R ,
(nierówność trójkąta).
(2.11)
Dla zwięzłości wypowiedzi będziemy używać określenia n-wymiarowa przestrzeń euklidesowa dla oznaczenia przestrzeni kartezjańskiej Rn wyposażonej w normę (2.1) i wyznaczoną przez nią metrykę euklidesową (2.3)
A. Strasburger — Konspekt wykładów ALiGA (przygotowany 29 lutego 2012 roku)
2.1.1
13
Kąt między wektorami w przestrzeni euklidesowej
Nierówność Schwarza dla pary niezerowych wektorów v, w ∈ Rn można zapisać za pomoca następującej
pary nierówności
v·w
−1 ¬
¬ 1,
(2.12)
|v| |w|
Jak stwierdziliśmy, wyrażenia po obu stronach nierówności Schwarza (2.9) są równe wtedy i tylko wtedy,
gdy wektory v i w są proporcjonalne. To oznacza, że wyrażenie pomiędzy znakami nierówności w (2.12)
przyjmuje największą wartość równą 1 wtedy i tylko wtedy, gdy wektory v i w mają ten sam kierunek
i zwrot (tj. różnią się dodatnim czynnikiem proporcjonalności, v = λw i λ > 0). Wartość najmniejsza
równa −1 przyjmowana jest w przypadku, gdy v = λw i λ < 0, a więc v i w mają ten sam kierunek a
zwrot przeciwny.
Geometryczna interpretacja nierówności Schwarza opiera się na pojęciu kąta między wektorami.
Definicja 2.2 (Kąt między wektorami w Rn ) Niech będą dane różne od zera wektory v, w ∈ Rn .
Kątem między wektorami v, w nazywamy (jednoznacznie wyznaczoną) liczbę Θ z odcinka [ 0, π ], że
v · w = cos Θ |v| |w|.
(2.13)
Będziemy mówić, że wektory v, w ∈ Rn są ortogonalne (prostopadłe), gdy v · w = 0. Ortogonalność
wektorów v, w wyrażamy zapisem v ⊥ w.
Przypomnijmy, że prostopadłość wektorów w płaszczyźnie oznacza, że kąt między nimi jest równy π/2,
a to na mocy wzoru (1.8) jest równoważne stwierdzeniu, że iloczyn skalarny tych wektorów jest równy
zeru. Sformułowana powyżej definicja wyraża ortogonalność wektorów w sposób czysto algebraiczny(1 )
również w przypadku przestrzeni o dowolnie wysokim wymiarze.
Zauważmy, że relacja ortogonalności jest symetryczna, to jest
v⊥w
⇐⇒
w ⊥ v,
a wektor zerowy (i tylko on) jest ortogonalny do każdego wektora w Rn .
Wobec liniowości iloczynu skalarnego względem jednego z czynników wnioskujemy, ze jeśli w ⊥ v1 i
w ⊥ v2 , to także w ⊥ (αv1 + βv2 ) przy dowolnych współczynnikach α, β ∈ R. Istotnie
w · (αv1 + βv2 ) = αw · v1 + βw · v2 = 0.
Stąd wyprowadzamy następujące ważne stwierdzenie.
Stwierdzenie 2 a) Zbiór wektorów ortogonalnych do danego w 6= 0 jest podprzestrzenią liniową przestrzeni Rn wymiaru n − 1. Przestrzeń tę nazywa się ortogonalnym dopełnieniem do wektora w i oznacza
w⊥.
b) Wektor x ∈ Rn jest ortogonalny do każdego z wektorów układu {v1 , . . . , vk } wtedy i tylko wtedy, gdy
jest ortogonalny do każdego wektora przestrzeni lin{v1 , . . . , vk }.
W nieco ogólniejszej sytuacji, gdy każdy wektor pewnej podprzestrzeni jest ortogonalny do danego
wektora w ∈ Rn , będziemy mówili, że ta podprzestrzeń jest ortogonalna do tego wektora. Znajdziemy
teraz ortogonalne dopełnienie do niezerowego wektora w przestrzeni R3 .
Przykład 2.1.1 a) Na początek rozważymy przypadek wektorów bazy standardowej w R3 . Ze wzoru (2.2) odczytujemy, że wektory bazy standardowej e1 , e2 , e3 są parami ortogonalne:
e1 · e2 = 0,
1
e1 · e3 = 0,
e3 · e2 = 0.
W przypadku przestrzeni dowolnego wymiaru wolimy określać tę relację słowem „ortogonalność” niż „prostopadłość”
14
ALiGA — Wykład 2.
Ponieważ podprzestrzeń w R3 zadana równaniem x3 = 0 jest rozpięta przez {e1 , e2 }, to zgodnie z powyższym Stwierdzeniem i wprowadzoną następnie terminologią, podprzestrzeń x3 = 0 jest dopełnieniem ortogonalnym do wektora e3 . W
podobny sposób czytelnik może samodzielnie wyznaczyć ortogonalne dopełnienia do pozostałych wektorów tej bazy —
e1 i e2 .
b) Niech v = (v1 , v2 , v3 ) ∈ R3 będzie niezerowym wektorem. Poszukajmy wektorów w = (w1 , w2 , w3 ) ortogonalnych
do v. Warunek ortogonalności
v · w = v1 w1 + v2 w2 + v3 w3 = 0,
jest jednorodnym równaniem liniowym dla współrzędnych wektora w, a zatem zbiór wektorów ortogonalnych do v jest
dwuwymiarową podprzestrzenią liniową w R3 . Jeśli przyjąć, że v1 6= 0, to wybierając znanym z poprzednich rozważań
sposobem wektory bazy tej przestrzeni dostaniemy
v
v
2
3
, 1, 0 , w′ =
, 0, 1 .
(2.14)
w=
v1
v1
Stąd, zgodnie z poprzedzający Stwierdzeniem, zbiór wektorów ortogonalnych do v jest przestrzenią liniową rozpiętą przez
w, w′ określone wzorem (2.14)
W ogólnym przypadku przestrzeni Rn bezpośrednio ze wzoru (2.2) wynika, że wektory bazy standardowej tej przestrzeni, ej , j = 1, . . . , n, są parami ortogonalne, tj. ej · ek = 0 gdy j 6= k.
Z powyższego (por. wzór (2.6)) wyprowadzamy następujące abstrakcyjne sformułowanie podstawowego dla geometrii twierdzenia Pitagorasa o długości przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym.
Twierdzenie 6 (Wzór Pitagorasa) Jeśli wektory v, w ∈ Rn są ortogonalne, to
|v + w|2 = |v|2 + |w|2.
(2.15)
Dowód dobrze ilustruje możliwości analitycznej metody wykorzystującej algebraiczne własności stosowanych formuł (por. Twierdzenie 4). Wystarczy bowiem zauważyć, że wobec v·w = 0 i symetrii iloczynu
skalarnego mamy w · v = 0, a zatem
|v + w|2 = (v + w) · (v + w) = v · v + v · w + w · v + w · w = |v|2 + |w|2.
Wniosek 2 (Liniowa niezależność ortogonalnych wektorów) Jeśli wektory v, w ∈ Rn są ortogonalne i żaden nie jest wektorem zerowym, to układ {v, w} jest liniowo niezależny.
Obie powyższe fakty mają swoje uogólnienie również dla dowolnych skończonych układów wektorów
ortogonalnych — mamy wówczas
Stwierdzenie 3 Jeśli wektory v1 , . . . , vk są parami ortogonalne, to zachodzi
2
k
X
vj j=1
=
k
X
|vj |2 ,
uogólniony wzór Pitagorasa,
j=1
a jeśli dodatkowo żaden z nich nie jest równy zeru, to układ {v1 , . . . , vk } jest liniowo niezależny.