Zadania rozwiązane

PoniŜej przedstawiono standardowy tok otrzymywania charakterystyk częstotliwościowych:
1. Wyznaczenie transmitancji operatorowej
2. Wykonanie podstawienia s = ωj
3. Wyznaczenie Re(G(j ω )) oraz Im(G(j ω ))-najczęściej poprzez pomnoŜenie przez
sprzęŜenie mianownika
4. Wyznaczenie P( ω ) i Q( ω ) przynajmniej dla ω =0, ω = ω s, ω = +∞
5. Wykreślenie charakterystyki amplitudowo –częstotliwościowej
6. Wyznaczenie M( ω ) oraz L( ω )
7. Wyznaczenie zakresów przybliŜeń ( ω << ω s , ω >> ω s) i odpowiednich wzorów
L( ω ) dla nich
8. Obliczenie spadku na dekadę dla obydwóch zakresów
9. Wyznaczenie wartości L( ω ) dla jednej wartości ω z pierwszego zakresu i jednej z
drugiego (mogą być punkty przecięcia z osiami)
10. Wykreślenie logarytmicznej charakterystyki amplitudowej
11. Wyznaczenie wzoru na ϕ ( ω )
12. Wyznaczenie ϕ ( ω ) przynajmniej dla ω =0, ω = ω s, ω = +∞
13. Wykreślenie logarytmicznej charakterystyki fazowej
Uwaga: Trzy wartości ω są minimalna liczbą potrzebą do wykreślenia wszystkich
charakterystyk. Aczkolwiek charakterystyki będą tym dokładniejsze, im więcej wartości ω
zostanie uŜytych w tabeli.
Sposób uŜycia powyŜszego algorytmu „ręcznego” wyznaczania charakterystyk został
przedstawiony na poniŜszym przykładzie.
PRZYKŁAD 1
Transmitancja operatorowa członu automatyki (jakiego??) jest dana wzorem:
G (s) =
3
s+5
Wyznacz charakterystyki częstotliwościowe tego członu
Rozwiązanie
Jako, Ŝe zadanie zostało postawione w sposób, który podał juŜ w treści transmitancję,
przechodzimy do punktu 2 (w przeciwnym wypadku trzeba przekształcić problem poprzez
modelowanie matematyczne do postaci transmitancji).
2. Stosujemy podstawienie s = ωj
Stąd
G ( jω ) =
3
jω + 5
1
_________________________________________________________________________________________________
Powered by xtoff®
[email protected]
3. Wyznaczono część rzeczywistą i urojoną transmitancji widmowej:
G ( jω ) =
3
5 − jω 15 − 3 jω 15 − 3 jω
⋅
=
=
jω + 5 5 − jω 25 − j 2ω 2
25 + ω 2
Po uporządkowaniu:
G ( jω ) =
15 − 3 jω
15
3ω
=
−
⋅ j = Re(G ( jω )) + Im(G ( jω )) ⋅ j = P (ω ) + jQ(ω )
2
2
25 + ω
25 + ω
25 + ω 2
Stąd:
15
25 + ω 2
3ω
Q(ω ) = −
25 + ω 2
P(ω ) =
Wykonano tabelę argumentów:
,
ω
P (ω )
Q (ω )
0,
3
5
0
5
3
10
3
10
+∞
0
0
Na jej podstawie wykreślono charakterystykę Nyquista (punkt 5 algorytmu):
2
_________________________________________________________________________________________________
Powered by xtoff®
[email protected]
Ad. 6
Wyznaczono M( ω ):
M (ω ) = P 2 (ω ) + Q 2 (ω ) =
15 2
(3ω ) 2
+
=
(25 + ω 2 ) 2 (25 + ω 2 ) 2
15 2 + 9ω 2
(25 + ω 2 ) 2
L(ω ) = 20 log M (ω )
Ad. 7
Jak widzimy, gdy ω <<5 to moŜemy w wyraŜeniu M( ω ) pominąć wpływ wyraŜenia
ω , czyli
2
15 2 15 3
=
=
25 2 25 5
3
L( ω )= 20 log .
5
M (ω ) ==
Jeśli natomiast ω >>5 to nie moŜemy pominąć w M( ω ) wpływu wyraŜenia ω 2 .
MoŜemy jednak pominąć wpływ stałych(225 w liczniku i 25 w mianowniku). Otrzymujemy
wtedy
M (ω ) ==
9ω 2
3
=
2 2
ω
(ω )
3
L( ω )= 20 log .
ω
Jest to podstawa do ręcznego wykreślenia charakterystyk Bodego(!!!)
Ad. 8
Obliczenie spadku na dekadę dla obydwóch zakresów
Do obliczenia tego spadku/wzrostu (tak naprawdę nachylenia prostej aproksymującej do osi
log ω ) naleŜy posłuŜyć się związkiem:
L(10ω ) − L(ω ) = 20[log M (10ω ) − log M (ω )]
Czyli dla podanych przybliŜeń:
ω <<5
3
3
L(10 ω )-L( ω )= 20 log -20log =0
5
5
Jest to prosta o równoległa do osi ω , o
3
wartości L( ω )=20 log ≈-4.4369
5
ω >>5
L(10ω ) − L(ω ) = 20 log
3
3
− 20 log =
ω
10ω
3 ω
= 20 log 10 −1 = −20dB / dekadę
10ω 3
Tak więc prosta z tego zakresu opada o 20
dB na kaŜdą dekadę
20 log
3
_________________________________________________________________________________________________
Powered by xtoff®
[email protected]
Ad. 9
Wyznaczenie wartości L( ω ) dla jednej wartości ω z pierwszego zakresu i jednej z
drugiego
Znając kąty nachylenia dla prostych z obydwóch zakresów naleŜy znać juŜ tylko po
jednym punkcie z kaŜdego, aby móc narysować aproksymowaną charakterystykę
częstotliwościową modułu.
- Przyjmijmy, Ŝe 10-3<<5, zatem dla pierwszego zakresu L(10-2)= 20 log
- Następnie przyjmijmy, Ŝe 103>>5, zatem dla drugiego zakresu:
3
≈-4.4369
5
3
= 20 log 3 − 20 log 10 2 = −4.4369 − 40 = −44.4369
10 2
Podane wartości ω są tylko przykładem. W rzeczywistości moŜna tu stosować dowolne ω .
L(102)= 20 log
Ad. 10
Wykreślenie charakterystyki:
-naniesienie na wykres punktu z pierwszego zakresu:
-na następnej dekadzie(czyli 10-2+1) nanosimy punkt, który ma wartość mniejszą o spadek na
dekadę. Oczywiście akurat w tym przypadku mamy do czynienia z funkcją stałą, więc w
następnej dekadzie rysujemy punkt o tej samej wartości L( ω ):
4
_________________________________________________________________________________________________
Powered by xtoff®
[email protected]
-przeciągamy linię przerywaną przez zadane punkty:
-naniesienie na wykres punktu z drugiego zakresu:
-na poprzedniej dekadzie(czyli 102-1) nanosimy punkt, który ma wartość większą o spadek na
dekadę. Jako, Ŝe charakterystyka opada, to na poprzedniej dekadzie punkt będzie wyŜej niŜ
ten na dekadzie 2 (o 20 dB):
5
_________________________________________________________________________________________________
Powered by xtoff®
[email protected]
-przeciągamy linię przerywaną przez zadane punkty:
(!)Wszystkie powyŜsze operacje powinny być wykonywane na tym samym wykresie. Jednak,
ze względu na czytelność tego przykładu, były wykonywane na kilku(!)
W tym momencie wykres powinien wyglądać następująco:
W punkcie przecięcia wykresów moŜna odczytać ωs :
6
_________________________________________________________________________________________________
Powered by xtoff®
[email protected]
Z wykresu odczytujemy ωs ≈ 100.66 ≈ 4.57 . Zatem przybliŜenie ωs =5 nie było obarczone
duŜym błędem. PrzybliŜa nam on takŜe prawdziwą logarytmiczną amplitudowoczęstotliwościową charakterystykę. PoniŜej zaprezentowano tą charakterystykę, uzyskaną w
pakiecie Matlab®:
NaleŜy koniecznie zauwaŜyć, iŜ charakterystyka wykreślona „ręcznie” jest najbardziej
niedokładna właśnie dla ωs (!)
Ad. 11
Wyznaczenie wzoru na ϕ ( ω )
Przekształcając wzór:
ϕ (ω ) = arg G ( jω ) = arc tg
Q(ω )
P(ω )
Otrzymujemy dla zadanego przykładu:
3ω
2
ω
ϕ (ω ) = arc tg 25 + ω = arc tg
15
5
2
25 + ω
−
Ad. 12
Wyznaczono tabelę:
,
ω
ϕ (ω ) [rad]
0,
0
5
+∞
4
2
π
π
7
_________________________________________________________________________________________________
Powered by xtoff®
[email protected]
Ad. 13
Wykreślono charakterystykę fazowo-częstotliwościową
Uwaga:
Dla powyŜszej charakterystyki naleŜałoby wyznaczyć wartości jeszcze dla
1
5
ω = ω s oraz
ω = 5ω s , a następnie aproksymować tą charakterystykę odpowiednimi asymptotami
ukośnymi. Taki zabieg pozwoli na dokładniejsze jej wyznaczenie. Jednak przed tym
procesem naleŜy zastanowić się nad problemem, jaka właściwie dokładność potrzebujemy.
Ten zabieg bywa czasochłonny a tylko w niewielkim stopniu poprawia wygląd
charakterystyki (moŜna lepiej zobaczyć „wypukłość” funkcji). Jeśli zaleŜy nam na bardzo
dobrej dokładności, to duŜo szybszym i przyjemniejszym sposobem będzie wykorzystanie
komputera.
8
_________________________________________________________________________________________________
Powered by xtoff®
[email protected]