Wstęp do statystycznej analizy danych 7. Zmienne losowe

Wstęp do statystycznej analizy danych
7. Zmienne losowe
Ćw. 7.1 Podaj rozkład zmiennej losowej opisującej rzut uczciwą kością do gry. Wyznacz
wartość oczekiwaną, wariancję oraz dystrybuantę (wykres).
Ćw. 7.2 Dwaj gracze K i L rzucają kością. Jeżeli wypadną co najwyżej 4 oczka, to gracz
K płaci graczowi L 1 zł. Jeżeli wypadną więcej niż 4 oczka, to gracz L płaci graczowi K 2 zł. Podaj rozkład zmiennych losowych opisujących wygrane obu graczy.
Wyznacz wartość oczekiwaną, wariancję oraz dystrybuantę (wykres).
Ćw. 7.3 Podaj rozkład zmiennej losowej, która przyjmuje wartości równe sumie oczek
w rzucie dwoma kostkami. Oblicz jej wartość oczekiwaną, a ponadto wyznacz
P (5 ¬ X < 8) oraz narysuj wykres dystrubuanty.
Ćw. 7.4 Dystrybuanta zmiennej losowej X ma postać





FX (t) = 



0,
1/3,
3/5,
1,
t < −1,
−1 ¬ t < −1/2,
−1/2 ¬ t < 3,
t ­ 3.
Wyznacz rozkład zmiennej losowej X.
Ćw. 7.5 Rozpatrzmy następującą grę: losujemy jedną kartę z talii 52 kart i:
— jeżeli jest to as, to wygrywamy 5 zł,
— jeżeli jest to król lub walet, to wygrywamy 2 zł,
— w pozostałych przypadkach przegrywamy 1 zł.
Czy gra jest sprawiedliwa?
Ćw. 7.6 Zmienna losowa X ma rozład
xi
pi
−1
p − p2
0
p2
1
1−p .
Znajdź p, dla których EX < 1/4.
Ćw. 7.7 Zmienna losowa X ma rozkład
xi
pi
0
p
1
2
s 1 − p − s.
Wiedząc, że EX = 1 oraz V arX = 1/2 wyznaczyć p oraz s.
Ćw. 7.8 W n rzutach kostką wariancja parzystych liczb oczek jest o 3 większa od wariancji szóstek. Oblicz n.
Ćw. 7.9 Zmienna losowa X przyjmuje wartości 0,1,2,. . . z prawdopodobieństwami malejącymi z postępem geometrycznym. Znaleźć zależność pomiędzy EX oraz V arX.
1
Ćw. 7.10 Liczba bakterii pewnego szczepu w polu widzenia pod mikroskopem podlega rozkładowi Poissona z parametrem λ = 0, 7. Obliczyć prawdopodobieństwo, że
w polu widzenia znajdują się:
a) co najwyżej dwie bakterie,
b) nie mniej niż pięć i nie więcej niż osiem bakterii.
Ćw. 7.11 Udowodnij, że funkcja
(
f (x) =
0,
x < 0,
2e−2x , x ­ 0
jest gęstością prawdopodobieństwa. Znajdź dystrybuantę F i wartość oczekiwaną
E X. Oblicz P (X < 12 ) i P (1 < X < 2). Zinterpretuj te prawdopodobieństwa na
wykresie gęstości i dystrybuanty.
Ćw. 7.12 Dystrybuanta zmiennej losowej X ma postać
(
FX (t) =
0,
t < 0,
1 − e−3t , t ­ 0.
Wyznacz gęstość zmiennej X.
Ćw. 7.13 Z pewnego przystanku autobusy odjeżdżają co 10 minut. Zakładając, że rozkład czasu przybycia pasażera na przystanek jest jednostajny, obliczyć prawdopodobieństwo, że pasażer będzie czekał co najmniej 4 minuty.
Ćw. 7.14 Przyjmijmy, że przeciętny czas rozmowy (w min.) z publicznego aparatu telefonicznego jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ = 71 .
Załóżmy, że ktoś ubiegł nas w dojściu do wolnego aparatu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na zwolnienie aparatu będziemy czekali nie dłużej niż 5 minut?
Ćw. 7.15 Sporządź na tym samym układzie współrzędnych wykresy gęstości zmiennych
losowych o rozkładach normalnych N (0, 1), N (0, 2) i N (0, 3). Ponadto oblicz:
a) P (|X| > 3), jeśli X ∼ N (1, 2),
b) P (0 < X < 6), jeśli X ∼ N (4, 2).
Ćw. 7.16 Zmienna losowa X ma rozkład normalny N (1, 2). Oblicz: P (X < 0), P (X < 1)
oraz P (X > −1).
Ćw. 7.17 Średni czas świecenia żarówki wynosi 1 rok, a odchylenie standardowe 3 miesiące. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrana losowo żarówka będzie mogła
służyć przynajmniej 18 miesięcy? Zakładamy, że czas świecenia żarówki ma rozkład
normalny.
Ćw. 7.18 Jeżeli średni czas sprawności akumulatora wynosi 30 miesięcy z odchyleniem
standardowym 5 miesięcy, to jaki procent akumulatorów będzie mieć czas sprawności
od 24 do 36 miesięcy? Zakładamy, że czas sprawności akumulatora ma rozkład
normalny.
Ćw. 7.19 Zmienna losowa X ma następujący rozkład:
1
P (X = −1) = ,
4
3
P (X = 1) = .
4
Znajdź rozkłady zmiennych: (a) Y = X + 1, (b) Z = X 2 .
2
Ćw. 7.20 Zmienna losowa X ma rozkład
xi
pi
−1
0
1
2
4
8
0,15 0,2 0,2 0,3 0,1 0,05
Podaj rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej Y = X 2 .
Ćw. 7.21 Zmienna losowa ma rozkład geometryczny z parametrem p. Podaj rozkład
zmiennej Y = (−1)X .
Ćw. 7.22 Zmienna losowa ma rozkład wykładniczy z parametrem λ. Podaj rozkład
zmiennej Y = 3X − 5.
3