Wykład 2

PRAWDOPODOBIEŃSTWO
Zdarzenie losowe (lub elementarne) jest pojęciem, którego się nie definiuje.Wszystkie zdarzenia
elementarne tworzą zbiór E zdarzeń elementarnych nazywany przestrzenią zdarzeń elementarnych.
Dowolny podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych jest także
zdarzeniem losowym A.
AKSJOMATYCZNA DEFINICJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA
AKSJOMAT 1:
Każdemu zdarzeniu A wchodzącemu w skład pewnej przestrzeni zdarzeń jest
przyporządkowana liczba P(A) z przedziału
0 ≤ P(A) ≤ 1
którą nazywamy prawdopodobieństwem zdarzenia.
AKSJOMAT 2:
Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego
P(E) = 1
AKSJOMAT 3:
Prawdopodobieństwo sumy skończonej lub przeliczalnej liczby wykluczających
się parami zdarzeń A1, A2, A3, ... jest równa sumie prawdopodobieństw
poszczególnych zdarzeń:
P(A1 ∪ A 2 ∪ A 3 ∪ ...) = P(A1 ) + P(A 2 ) + P(A 3 ) + ...
Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 2
1
E
Prawdopodobieństwo warunkowe:
P(B/A) =
A
P(A ∩ B)
P(A)
A∩B
B
Jeżeli zdarzenia są niezależne tzn. P(B/A) = P(B)
to:
P(A ∩ B) = P(A)· P(B)
Twierdzenie Bayesa:
P(A ∩ B)
P(B/A) =
P(A)
P(A ∩ B) = P(B/A)·P(A)
P(A ∩ B)
P(B)
P(A ∩ B) = P(A/B)·P(B)
P(A/B) =
P(B/A)·P(A) = P(A/B)·P(B)
P(B/A) =
P(A/B)·P(B)
P(A)
Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 2
2
ZMIENNA LOSOWA
ZMIENNA LOSOWA – parametr klasyfikujący zdarzenia – każdemu zdarzeniu
przypisana jest inna wartość zmiennej.
ZMIENNA LOSOWA to wielkość, która może przyjmować wartości liczbowe
z pewnego obszaru zmienności, z określoną częstością (prawdopodobieństwem)
ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZMIENNEJ LOSOWEJ
– zależność prawdopodobieństwa od wartości zmiennej losowej.
Zmienna losowa dyskretna: xi, P(xi)
Zmienna losowa ciągła: x, P(x0 < x < x0 +∆x)
P( x i ) =
n(x i )
,
N
dla N → ∞
n(xi) – liczba zdarzeń, którym przypisana jest zmienna xi ,
N – liczba wszystkich zdarzeń.
n ( x 0 < x < x 0 + ∆x )
P( x 0 < x < x 0 + ∆x ) =
, dla N → ∞
N
Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 2
3
GĘSTOŚĆ PRAWDOPODOBIEŃSTWA
Dla zmiennej losowej ciągłej wygodniej jest zdefiniować wielkość nazywaną
GĘSTOŚCIĄ PRAWDOPODOBIEŃSTWA:
P( x 0 < x < x 0 + ∆x )
∆x → 0
∆x
Przy takiej definicji możemy napisać, że: x
f ( x 0 ) = lim
P( x a < x < x b ) =
b
∫ f ( x )dx
xa
DYSTRYBUANTA:
x
F( x 0 ) =
0
∫ f ( x )dx = P(−∞ < x < x 0 )
−∞
Z definicji prawdopodobieństwa:
n
∑ P( x i ) = 1
i =1
+∞
∫ f ( x )dx = 1
−∞
Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 2
4
PARAMETRY ROZKŁADU ZMIENNEJ LOSOWEJ
WARTOŚĆ OCZEKIWANA (ŚREDNIA)
n
E ( x ) = ∑ x i ⋅ P( x i )
E(x) =
i =1
+∞
∫ x ⋅ f(x)dx
-∞
Taka definicja jest zgodna ze znanym pojęciem średniej arytmetycznej:
Przyjmijmy że mamy N wartości xj , przy czym wartości te powtarzają się, tak że
dana wartość xi występuje ni razy. Możemy wówczas napisać:
n
n
ni
1 N
1 n
x śr = ∑ x j = ∑ n i ⋅ x i = ∑ ⋅ x i = ∑ P( x i ) ⋅x i
N j=1
N i =1
i =1
i =1 N
WARIANCJA I DYSPERSJA
- stanowią miarę rozrzutu wartości zmiennej losowej wokół wartości oczekiwanej.
n
V ( x ) = ∑ [ x i − E ( x )] ⋅ P(x i )
i =1
2
+∞
V(x) = ∫ [ x − E ( x )]2 ⋅ f ( x )dx
D( x ) = V ( x )
−∞
Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 2
5
MOMENTY ROZKŁADÓW ZMIENNEJ LOSOWEJ
MOMENT RZĘDU n:
mn(x) = E(xn)
m n ( x ) = ∑ x in ⋅ P( x i )
k
i =1
m n (x) =
MOMENT CENTRALNY RZĘDU n:
Mn(x) = E{ [x-E(x)]n }
k
+∞
n
x
∫ ⋅ f(x)dx
-∞
+∞
M n ( x ) = ∑ [ x i − E ( x )] ⋅ P(x i )
M n (x) = ∫ [ x − E ( x )]n ⋅ f ( x )dx
i =1
−∞
M1(x) = 0
M2(x) = V(x)
- opisuje rozrzut x
M3(x)
- opisuje asymetrię rozkładu, dla symetrycznego M3(x) = 0
M4(x)
- opisuje spłaszczenie rozkładu
skośność
spłaszczenie
M (x)
M (x)
γ1 = 3 3
γ2 = 4 4 − 3
[ D( x )]
[D( x )]
WARTOŚĆ MODALNA – wartość zmiennej losowej,
dla której prawdopodobieństwo (gęstość prawdop.) ma największą wartość.
MEDIANA – wartość xm zmiennej losowej, która dzieli obszar jej zmienności na
dwa obszary o równym prawdopodobieństwie tzn.
P(-∞ < x < xm) = P(xm < x <+ ∞) = 0.5
n
Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH 2
6