Wartość oczekiwana, wariancja, odchylenie standardowe, momenty

Wartość oczekiwana, wariancja, odchylenie standardowe, momenty
• µ, EX - Tak oznacza się wartość oczekiwaną zmiennej losowej X. Jest to moment zwykły pierwszego
rzędu, czyli wartość x zmiennej losowej X, która odpowiada środkowi ciężkości rozkładu, innymi słowy,
jest przeciętnym wynikiem doświadczenia. Dla zmiennej losowej dyskretnej X wartość oczekiwana wynosi
P
EX = i P (X = xi )xi , gdzie suma przebiega po wszystkich
możliwych realizacjach xi zmiennej losoR∞
wej X. Dla zmiennej losowej ciągłej X zachodzi: EX = −∞
xf (x)dx, gdzie f (x) jest funkcją gęstości
prawdopodobieństwa X. Teoretyczną wartość oczekiwaną estymujemy średnią arytmetyczną z próby (x̄).
Do najważniejszych właśności wartości oczekiwanej należą:
– Dla dowolnej stałej c mamy Ec = c
– Wartość oczekiwana jest funkcją liniową, tzn. dla dowolnych zmiennych losowych X i Y oraz dowolnej
stałej a zachodzi E(aX) = aEX oraz E(X + Y ) = EX + EY .
• E(X k ) - moment zwykły k-tego rzędu;
obliczany dla zmiennej dyskretnej jako EX k =
R∞ k
k
zaś dla zmiennej ciągłej jako EX = −∞ x f (x)dx
P
i P (X
= xi )xki ,
• D2 (X), Var(X) - Tak oznacza sięh wariancję zmiennej
losowej X. Jest to moment centralny drugiego rzędu.
i
2
2
Obliczamy go jako D (X) = E (X − EX) = E(X 2 ) − (EX)2 . Do najważniejszych wartości wariancji
należą:
– Dla dowolnej stałej c zachodzi D2 (c) = 0
– Dla dowolnej zmiennej losowej X mamy D2 (X) ­ 0, przy czym D2 (X) = 0 zachodzi wtedy i tylko
wtedy, gdy X jest z prawdopodobieństwem 1 równe pewnej stałej.
– Dla dowolnej stałej c oraz dowolnej zmiennej losowej X mamy D2 (cX) = c2 D2 (X).
– Wariancja jest niezmiennicza ze względu na translację, tzn. dla dowolnej stałej c oraz dowolnej
zmiennej losowej X mamy D2 (X + c) = D2 (X).
– Dla dowolnych zmiennych losowych X i Y zachodzi: D2 (X + Y ) = D2 (X) + D2 (Y ) + 2 Cov(X, Y ),
gdzie Cov(X, Y ) oznacza kowariancję zmiennych losowych X i Y .
• Cov(X, Y ), cov(X, Y ) - tak oznacza się kowariancję zmiennych losowych X i Y , która określa zależność
liniową pomiędzy zmiennymi X i Y . Kowariancję obliczamy w następujący sposób:
cov(X, Y ) = E [(X − EX) (Y − EY )] = E(X · Y ) − EX · EY .
• E (X − µ)k - moment centralny k-tego rzędu. Są to momenty dla zmiennych losowych przesuniętych
o wartość oczekiwaną - a więc "scentralizowane". Moment centralny pierwszego rzędu wynosi 0, zaś moment centralny drugiego rzędu to wariancja.
• σ - tak oznacza
się odchylenie standardowe zmiennej losowej X. Jest to określenie na pierwiastek z warianp
cji: σ = Var(X). Odchylenie standardowe rozkładu zawiera informację, jak bardzo wyniki eksperymentu
rozrzucone są wokół wartości oczekiwanej. Im mniejsze odchylenie standardowe, tym bardziej wyniki eksperymentu są skupione wokół wartości oczekiwanej rozpatrywanego rozkładu.
Centralne Twierdzenie Graniczne, ważne rozkłady zmiennych losowych
Centralne Twierdzenie Graniczne to twierdzenie mówiące o tym, że jeśli {Xi }i są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie, o tej samej wartości oczekiwanej równej µ oraz o skończonej wariancji
równej σ 2 , to zmienna losowa o postaci
Pn
X − nEX1
√ i
Y = i=1
n Var X1
zbiega według rozkładu do standardowego rozkładu normalnego N (0, 1), gdy n rośnie do nieskończoności. Dzięki
temu większość obliczeń wartości sumy niezależnych zmiennych losowych pochodzących z tego samego rozkładu
sprowadza się do przeczytania z tablicy standardowego rozkładu normalnego odpowiedniej wartości prawdopodobieństwa.
Ważne rozkłady zmiennych losowych:
1. Ważne rozkłady dyskretne
(a) rozkład dwupunktowy o parametrach a, b, p: P (X = a) = p, P (X = b) = 1 − p
(b) rozkład dwumianowy (schemat Bernoulliego) B(n, p), Binom(n, p)
(c) rozkład Poissona P(λ), Pois(λ)
(d) rozkład geometryczny G(p), Geom(p)
(e) rozkład hipergeometryczny o parametrach N, m, n
(f) rozkład jednostajny dyskretny
...
2. Ważne rozkłady ciągłe
(a) rozkład jednostajny (rozkład jednostajny ciągły) U(a, b)
(b) rozkład normalny (rozkład Gaussa) N (µ, σ)
(c) rozkład wykładniczy E(λ), Exp(λ)
(d) rozkład logarytmicznie normalny
(e) rozkład beta
(f) rozkład gamma Γ
(g) rozkład chi-kwadrat χ2 (k)
(h) rozkład t-Studenta o ν stopniach swobody
(i) graniczne rozkłady ekstremalnych statystyk pozycyjnych (trzy typy)
...
Uproszczona tablica dystrybuanty Φ(u) rozkładu normalnego N (0, 1):
u 0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16
0,0 0,500 0,508 0,516 0,524 0,532 0,540 0,548 0,556 0,564
0,2 0,579 0,587 0,595 0,603 0,610 0,618 0,626 0,633 0,641
0,4 0,655 0,663 0,670 0,677 0,684 0,692 0,699 0,705 0,712
0,6 0,726 0,732 0,739 0,745 0,752 0,758 0,764 0,770 0,776
0,8 0,788 0,794 0,800 0,805 0,811 0,816 0,821 0,826 0,832
1,0 0,841 0,846 0,851 0,855 0,860 0,864 0,869 0,873 0,877
1,2 0,885 0,889 0,893 0,896 0,900 0,903 0,907 0,910 0,913
1,4 0,919 0,922 0,925 0,928 0,931 0,933 0,936 0,938 0,941
1,6 0,945 0,947 0,950 0,952 0,954 0,955 0,957 0,959 0,961
1,8 0,964 0,966 0,967 0,969 0,970 0,971 0,973 0,974 0,975
2,0 0,977 0,978 0,979 0,980 0,981 0,982 0,983 0,984 0,985
2,2 0,986 0,987 0,988 0,988 0,989 0,989 0,990 0,990 0,991
2,4 0,997 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,998 0,999
2,6 0,992 0,992 0,993 0,993 0,993 0,994 0,994 0,995 0,995
2,8 0,995 0,996 0,996 0,996 0,996 0,997 0,997 0,997 0,997
Pomocna własność dystrybuanty rozkładu N (0, 1): Φ(u) = 1 − Φ(−u)
0,18
0,571
0,648
0,719
0,782
0,837
0,881
0,916
0,943
0,963
0,976
0,985
0,991
0,999
0,995
0,997