Zadania z Mechaniki klasycznej Zestaw 0 (Wersja 30.09.2014) 1

Zadania z Mechaniki klasycznej
Zestaw 0
(Wersja 30.09.2014)
1. Udowodnić, że (konwencja sumacyjna!)
εijk εimn
δ
= jm
δkm
δjn δkn (a)
εijk εijn = 2δkn
(b)
εijk εijk = 6
(c)
Wskazówka:
εijk εlmn
δil
= δjl
δkl
δim
δjm
δkm
δin δjn δkn 2. Udowodnić następujące tożsamości wektorowe:
ax
a · (b × c) = b · (c × a) = c · (a × b) = bx
cx
ay
by
cy
az bz cz (a)
a × (b × c) = (c × b) × a = b(a · c) − c(a · b)
(b)
a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0
a · c b · c
(a × b) · (c × d) = a · d b · d
(c)
(d)
(a × b) × (c × d) = [a · (b × d)]c − [a · (b × c)]d = [a · (c × d)]b − [b · (c × d)]a
(e)
a × [b × (c × d)] = (b · d)(a × c) − (b · c)(a × d)
(f)
(a × b) · [(c × d) × (e × f )] = [a · (b × e)][c · (d × f )] − [a · (b × f )][c · (d × e)]
(g)
(a × b) · (c × d) + (b × c) · (a × d) + (c × a) · (b × d) = 0
a · d a · e a · f [a · (b × c)][d · (e × f )] = b · d b · e b · f c · d c · e c · f (h)
3. Niech n będzie wektorem jednostkowym. Pokazać, że dla dowolnego wektora a zachodzi
a = n(a · n) + n × (a × n)
4. Pokazać, że rozwiązaniem układu równań
(
x·a=p
x×a=q
jest wektor
x=
ap + a × q
a2
5. Pokazać, że rozwiązanie równania
(b × c)x + (c × a)y + (a × b)z + d = 0
1
[a · (b × c) 6= 0]
(i)
ma postać
x=−
d·a
,
a · (b × c)
y=−
d·b
,
a · (b × c)
z=−
d·c
.
a · (b × c)
6. Pokazać, że rozwiązanie równania
[a · (b × c) 6= 0]
ax + by + cz + d = 0
ma postać
x=−
d · (b × c)
,
a · (b × c)
y=−
7. Pokazać, że rozwiązaniem układu równań


x · a = p
x·b=q


x·c=r
d · (c × a)
,
a · (b × c)
z=−
d · (a × b)
.
a · (b × c)
[a · (b × c) 6= 0]
jest wektor
x=
p(b × c) + q(c × a) + r(a × b)
.
a · (b × c)
8. Niech dany będzie układ wektorów a, b, c, dla którego a · (b × c) 6= 0. Układem dualnym
(odwrotnym) do układu a, b, c, nazywamy zbiór trzech wektorów ā, b̄, c̄, dla których zachodzi
ā · a = 1
ā · b = 0
ā · c = 0
b̄ · a = 0
b̄ · b = 1
b̄ · c = 0
c̄ · a = 0
c̄ · b = 0
c̄ · c = 1.
Pokazać, że wektorami bazy odwrotnej do a, b, c, są
ā =
b×c
a · (b × c)
b̄ =
c×a
a · (b × c)
c̄ =
a×b
a · (b × c)
i że zachodzi relacja
ā · (b̄ × c̄) =
1
.
a · (b × c)
9. Dla cylindrycznego (walcowego) układu współrzędnych (ρ, θ, z) zdefiniowanego przez równania


x = ρ cos θ
y = ρ sin θ


z=z
wyznaczyć: macierz Jacobiego (i jej wyznacznik), współczynniki Lamego, wersory krzywoliniowe.
Sprawdzić ortogonalność tego układu. Wyrazić współrzędne walcowe poprzez współrzędne kartezjańskie. Znaleźć składowe prędkości i przyśpieszenia w rozważanym układzie współrzędnych.
10. Dla sferycznego układu współrzędnych (r, θ, ϕ) zdefiniowanego przez równania


x = r sin θ cos ϕ
y = r sin θ sin ϕ


z = r cos θ
wyznaczyć: macierz Jacobiego (i jej wyznacznik), współczynniki Lamego, wersory krzywoliniowe.
Sprawdzić ortogonalność tego układu. Wyrazić współrzędne sferyczne poprzez współrzędne kartezjańskie. Znaleźć składowe prędkości i przyśpieszenia w rozważanym układzie współrzędnych.
2