Ćwiczenia nr 1 z “Robotyki 1” AiR Proszę przypomnieć podstawowe

Ćwiczenia nr 1 z “Robotyki 1” AiR
Proszę przypomnieć podstawowe wiadomości z analizy (pochodne funkcji skalarnych i wektorowych wielu zmiennych) i algebry liniowej (wektory i macierze oraz operacje na nich, iloczyn
skalarny i wektorowy, definicja i interpretacja fizyczna). Materiały pomocnicze są na stronie
wykładowcy http://kcir.pwr.edu.pl/~iwd/ w zakładce Robotyka 1.
Uwaga: wektory zawsze notujemy kolumnowo. Wektory piszemy boldem, a skalary normalnym
fontem. Na tej liście wszystkie wektory należą do R3 . Zarówno na tej liście jak i następnych,
zadania trudniejsze, oznaczone symbolem (?), przeznaczone są dla osób pragnących poszerzyć
wiedzę i nie będą przerabiane na ćwiczeniach.
1. Dla dowolnej pary macierzy (3 × 3) wykonać ich mnożenie: a) “klasycznie”; b) dzieląc
macierze na bloki: pierwsze dwa wiersze (kolejno) (2 × 2), (2 × 1), wiersz trzeci (kolejno)
(1 × 2), (1 × 1), i wykonując mnożenia blokowo (wstawiając wyniki w odpowiedni blok
macierzy wynikowej). Porównać otrzymane wyniki.
x, y i. Pokazać, że hx
x, y i = x T y = tr(x
xy T ),
2. Iloczyn skalarny wektorów x , y oznaczamy jako hx
gdzie tr to ślad macierzy (suma elementów na diagonali).
x, y i = hyy , x i oraz hkx
x, y i = khx
x, y i.
3. Pokazać własności: hx
4. Iloczyn wektorowy x = (x1 , x2 , x3 )T , y = (y1 , y2 , y3 )T , wynosi x × y = (x2 y3 − x3 y2 , x3 y1 −
x × y ),
x1 y3 , x1 y2 − x2 y1 )T . Korzystając z iloczynu skalarnego wektorów pokazać, że x ⊥ (x
x × y ). Czy stąd wynika, że (k1x + k2y ) ⊥ (x
x × y ).
oraz y ⊥ (x
x × y ) = (kx
x) × y , gdzie
5. Pokazać własności iloczynu wektorowego: x × y = −yy × x , k(x
k ∈ R.
ω ], zgodnie
6. Dla wektora ω = (ω
, ω , ω )T definiujemy
macierz Ω oznaczaną także jako [ω
 1 2 3

0 −ω3 ω2

0 −ω1 
z zależnością Ω =  ω3
. Dla v = (v1 , v2 , v3 )T , pokazać, że Ωv = ω × v .
−ω2 ω1
0


1 0 0


7. Sprawdzić obliczeniami, czy macierz R = 0 0 1 posiada następujące własności:
0 −1 0
RR T = R T R = I3 ,
R ) = 1.
det(R
(1)
8. Jaka jest odwrotność macierzy R z zadania powyższego?
9. Policzyć
∂ff
∂qq
dla funkcji: (ki są stałymi)
(a) f (qq = (q1 , q2 )T ) = k12 sin(2q1 − q22 ) + k2 cos q1
"
#
k1 q2
T
(b) f (qq = (q1 , q2 ) ) =
k2 (−q12 − q2 ) + sin(2q1 ) cos q2
10. (?) Pokazać, równoważność (⇒, ⇐ ) warunków (1) oraz warunków
krr 1 k =i krr 2 k = krr 3 k =
h
1, r 1 × r 2 = r 3 , gdzie r i to kolejne kolumny macierzy R = r 1 r 2 r 3 . k · k oznacza
długość euklidesową wektora
x × y k = kx
xk kyy k sin ∠(x
x, y ).
Podpowiedź 1: kx
Podpowiedź 2: pokazać, że wektory r 1 i r 2 są prostopadłe do siebie.
11. (?) Czy w zadaniu 1 (dla ogólnej macierzy n × n) podział na bloki może być inny? Jaki?
1