pochodne - Fizyka UMK

1
Pochadna funkcji
Pochdona funkcji zdefiniowana jest jako granica
f (x + h) − f (x)
df
= lim
(1.1)
dx h→0
h
Geometrycznie pochodna funkcji w punkcie równa się współczynnikowi kątowemu stycznej do
wykresu funkcji w tym punkcie.
Twierdzenia, które są przydatne w rachunku różniczkowym:
f 0 (x) =
Twierdzenie 1. Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w danym punkcie, to jest też ciągła w tym
punkcie.
Twierdzenie 2. Pochodna funkcji stałej równa się zero, tzn. f (x) = c, to f 0 (x) = 0
Twierdzenie 3. Pochodna iloczynu stałej przez funkcję równa się iloczynowi stałej przez pochodną funkcji, tzn. y = cf (x) to
y 0 = c · f 0 (x)
(1.2)
Niech u = f (x) i v = g(x) oznaczają funkcje różniczkowalne, wówczas zachodzą podane
wzory:
Twierdzenie 4. Pochodna sumy funkcji. Jeżeli y = u + v to
y 0 = u0 + v 0
(1.3)
Twierdzenie 5. Pochodna iloczynu funkcji. jeżeli y = uv to
y 0 = u0 v + uv 0
(1.4)
Twierdzenie 6. Pochodna ilorazu. Jeżeli y = u/v i v 6= 0 to
y0 =
u0 v − uv 0
v2
(1.5)
Twierdzenie 7. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli y = f g(x) to
dy
df dg
=
·
dx
dg dx
(1.6)
Przykład:
Niech y = sin 2x, jest to złożenie funkcji sinus i funkcji 2x. Więc niech f (g(x)) = sin g(x),
natomiast g(x) = 2x. Stąd
df
= cos g(x)
(1.7)
dg
oraz g 0 (x) = 2, dlatego łącząc te wyrażenia mamy
y 0 = cos g(x) · 2 = 2 cos 2x
1
(1.8)
Twierdzenie 8. Pochodna funkcji odwrotnej. Niech y = f (x) i ma funkcję odwrotną x = φ(y),
to pochodna funkcji odwrotnej równa się odwrotności pochodnej danej funkcji.
dy
dx
=1:
,
dy
dx
jeżeli
dy
6= 0
dx
(1.9)
Następnie należy przedstawić x = φ(y).
Przykład:
y = tan x, to pochodna y 0 wynosi
1
dy
=
(1.10)
dx
cos2 x
Chcemy teraz obliczyć pochodną funkcji odwrotnej, czyli x = arctan y. Więc korzystając z
powyższej metody mamy
dx
1
= dy = cos2 x
(1.11)
dy
dx
1
Prawą stronę przekształcamy w myśl znanej tożsamości cos2 x = 1+tan
2 x , i podstawiając y =
tan x, otrzymujemy
1
1
dx
0
=
,
czyli
(arctan
y)
=
(1.12)
dy
1 + y2
1 + y2
Ważniejsze wzory rachunku różniczkowego
(xa )0 = axa−1 , dla x > 0, a − dowolne
(sin x)0 = cos x
(cos x)0 = − sin x
1
= 1 + tan2 x, dla cos x 6= 0
(tan x)0 =
cos2 x
1
(cot x)0 = − 2 = −(1 + cot2 x), dla sin x 6= 0
sin x
1
1
1
, −1 < x < 1, − π ¬ arcsin x ¬ π
(arcsin x)0 = √
2
2
2
1−x
−1
(arccos x)0 = √
, −1 < x < 1, 0π ¬ arccos x ¬ π
1 − x2
1
1
1
(arctan x)0 =
, − π ¬ arctan x ¬ π
2
1+x
2
2
2
(1.13)
(1.14)
(1.15)
(1.16)
(1.17)
(1.18)
(1.19)
(1.20)
−1
, 0π ¬ arctan x ¬ π
1 + x2
(ex )0 = ex
(ax )0 = ax ln a, dla a > 0
1
(ln |x|)0 =
, dla x 6= 0
x
1
1
= loga e, dla, a > 0, a 6= 1, x 6= 0
(loga |x|)0 =
x ln a
x
Zadanie 1. Oblicz z definicji pochodną.
(arc ctg x)0 =
a(x)
b(x)
c(x)
d(x)
x+1
x2
ln x
ex
1
f (x) =
x
=
=
=
=
(1.21)
(1.22)
(1.23)
(1.24)
(1.25)
(1.26)
(1.27)
(1.28)
(1.29)
(1.30)
Wstawiamy dane funkcje do definicji pochodnej (ta część z granicą!). W pierwszym otrzymujemy
h
(x + h + 1) − (x + 1)
= lim = 1
(1.31)
a0 (x) = lim
h→0 h
h→0
h
drugi
→0
z}|{
(x + h) − x
x + 2xh + h − x
2xh + h2
= lim
= lim
= 2x
h→0
h→0
h→0
h
h
h
2
b0 (x) = lim
/2
2
2
/2
(1.32)
trzeci
x+h
ln(x + h) − ln x
1 h
h h1
= lim x = lim ln 1 +
= lim ln 1 +
=
h→0
h→0 h
h→0 h
h→0
h
x
x
1
h hx x
1
h hx
1
1
= lim ln 1 +
= lim ln 1 +
= ln e =
(1.33)
h→0
h→0
x
x
x
x
|
{z x }
c0 (x) = lim
→e
czwarte
ex+h − ex
ex eh − ex
eh − 1
= lim
= lim ex
= ex ln e = ex
h→0
h→0
h→0
h
h
h
d0 (x) = lim
(1.34)
Ostatnie
0
f (x) = lim
h→0
1
x+h
−
h
1
x
= lim
h→0
x
x−h
/ −/
x(x+h)
h
3
−h
12
=
−
= −x−2
h→0 x2 h + xh2
x
= lim
(1.35)
Zadanie 2. Oblicz pochodną
f (x) = a sin(ax)
x+1
f (x) =
x−1
f (x) = xex
√
f (x) =
x2 − 4
(1.36)
(1.37)
(1.38)
(1.39)
2
f (x) = ecos x
f (x) = ln(sin x)
(1.40)
(1.41)
Korzystając z twierdzeń pomocniczych i wzorów na pochodne otrzymujemy:
Pierwsza
f 0 (x) = a cos(ax) · a = a2 cos(ax)
traktujemy całą funkcję jako funkcję złożoną.
Następny przykład
(x − 1) − (x + 1)
−2
f 0 (x) =
=
2
(x − 1)
(x − 1)2
(1.42)
(1.43)
liczymy ze wzrou na pochodną ilorazu.
Trzeci przykład, traktujemy jako pochodną iloczynu:
f 0 (x) = ex + ex x = ex (1 + x)
(1.44)
Czwarty przykład znowu traktujemy jako funkcję złożoną, przedstawimy pierwiastek jako potęgę 12 , w celu ułatwienia rachunków
1
1
x
f 0 (x) = (x2 − 4)− 2 · 2x = √ 2
2
x −4
(1.45)
Następna funkcja to również funkcja złożona.
2
f 0 (x) = ecos
x
· (cos2 x)0 = ecos
2
x
2
· (−2 cos x sin x) = −ecos
x
sin 2x
(1.46)
ostatni przykład analogicznie.
f 0 (x) =
1
· cos x = cot x
sin x
4
(1.47)