x(f

POCHODNA FUNKCJI . ZASTOSOWANIE POCHODNEJ.
b) f ( x ) = 4 ⋅ x
1. Obliczyć pochodne funkcji (a - stała) : a) f ( x ) = 3x − 2 x ⋅ x
4
2
arcsin 4 x
d) f ( x ) = x cos 3x e) f ( x ) =
sin 2 x
2
2
(cos x ) 3
i) f ( x ) =
e tg 2 x
a
j) f ( x ) = a ⋅ arccos
x
f) f ( x ) =
ex
1 + sin x
g) f ( x ) = 3 sin x ⋅ cos 2 x
ln x
x
c) f ( x ) =
2x 3 + 4x
x2 ⋅ x
2
2
k) f ( x ) = 3 e
3
l) f ( x ) = a x
h) f ( x ) = tg 3 (e 3x )
a
2. Znaleźć drugą pochodną funkcji, wynik doprowadzić do najprostszej postaci:
1
x−6
b) f ( x ) = cos e x c) f ( x ) =
a) f ( x ) = x ⋅ arc tg
x
x +1
3. Sprawdzić, że podana niżej funkcja y = f ( x ) spełnia dane obok równanie różniczkowe:
a) y = x 2 + ( x − 1) e x ; x y ′′ = y ′ + x 2 e x b) y = e x sin x ; y ′′ − 2 y ′ + 2 y = 0 c) y = arcsin x ; (1 − x 2 ) y ′′ = xy ′.
4. Stosując regułę de L`Hospitala, obliczyć granice:
2
ln cos x
ln(x + 1)
a) lim
b) lim
c) lim ( x 2 ⋅ e − x )
x→0
x → +∞
x →0
x
x
1
f) lim [ x (arc ctg x − π)
x → −∞
g) lim[ x ⋅ (e x − 1)]
x →∞
1
d) lim− [lnx ln(1 − x )]
x →1
e) lim+ ( x ⋅ e x )
x →0
1 
1 
 x
1
h) lim
−
 i) lim − x
.
x →1 x − 1
x →0 x
ln x 
e −1


5. Określić dziedzinę i znaleźć asymptoty funkcji: f ( x ) = ln (1 + e − x ) . Narysować wykres.
6. Wyznaczyć dziedzinę, przedziały monotoniczności i ekstrema funkcji:
x2
−x2
2 −x
2
a) f ( x ) = xe
b) f ( x ) = x e
c) f ( x ) = x ⋅ ln x d) f ( x ) =
+ 4 ln(x + 5) .
2
7. Wyznaczyć dziedzinę, miejsca zerowe, asymptoty (jeśli są), wyznaczyć przedziały monotoniczności i
ekstrema lokalne oraz narysować wykres funkcji:
a) f ( x ) = x ln x 2
b) f ( x ) = x ln 2 x
c) f ( x ) = x 2 e − x .
2
8. Napisać wzór Maclaurina funkcji f ( x ) = e x dla n = 5 . Na podstawie tego wzoru obliczyć przybliżoną
1
i oszacować błąd przybliżenia.
wartość liczby
4
e
9. Napisać wzór Maclaurina funkcji f ( x ) = ln( x + 1) dla n = 6 . Wykorzystując ten wzór, obliczyć przybliżoną
5
wartość liczby ln  , a następnie oszacować błąd przybliżenia.
4
10. Napisać wzór Maclaurina funkcji f ( x ) = ln(1 − x ) dla n = 5 . Wykorzystując ten wzór, obliczyć przybliżoną
wartość liczby ln 0.5 , a następnie oszacować błąd przybliżenia.