Wykład 12

Mechanika. Wykład XII.
Małe drgania
Wykład XII
• Małe drgania wokół połoŜenia
równowagi.
Mechanika. Wykład XII.
Małe drgania
Małe drgania
Lagrangian
1 f
L = ∑ (M kl q& k q&l − K kl qk ql )
2 k ,l =1
Równania Lagrange’a II rodzaju
d  ∂L

dt  ∂q& k
f
f
 ∂L
 −
= 0, k = 1,2,K , f ⇒ ∑ M kl q&&l = −∑ K kl ql
l =1
l =1
 ∂qk
Wprowadźmy macierze
Mˆ = [M kl ], Kˆ = [K kl ] − macierze symetryczne rzeczywiste ⇒ hermitowskie
Zapisane przy pomocy tych macierzy lagrangian i równania Lagrange’a mają postać
 q1 
q 
1
2
L = q& *T Mˆ q& − q *T Kˆ q , Mˆ q&& = − Kˆ q, gdzie q =  
M
2
 
q f 
(
)
Mechanika. Wykład XII.
Małe drgania
Rozwiązania równań Lagrange’a poszukujemy w postaci
 q1 (t )   a1 
 q (t )  a 
2
 =  2  e iωt = aeiωt
q (t ) = 
 M  M
  

(
)
q
t
 f  a f 
Po wstawieniu postulowaniej postaci rozwiązań do równań Lagrange’a otrzymujemy
(Kˆ − ω Mˆ )a = 0
2
Równanie to ma niezerowe rozwiązania pod warunkiem, Ŝe
(
)
det Kˆ − ω 2 Mˆ = 0
Równanie charakterystyczne
ZałóŜmy, Ŝe macierz M ma f róŜnych wartości własnych. Macierz M jest hermitowska, więc jej
wartości własne są rzeczywiste.
PoniewaŜ macierz M jest hermitowska, wektory własne odpowiadające róŜnym wartościom
własnym są ortogonalne i tworzą bazę ortogonalną (ew. ortonormalną).
Macierz R przejścia do bazy ortonormalnej jest unitarna.
Macierz M zapisana w nowej bazie jest diagonalna.
Mechanika. Wykład XII.
Małe drgania
R − macierz unitarna ⇒ Rˆ −1 = Rˆ *T , Mˆ ′ ≡ Rˆ Mˆ Rˆ −1 = Rˆ Mˆ Rˆ *T
Lagrangian moŜna zapisać w postaci
L=
(
)
(
 µ1
0
=
M

 0
0
µ2
M
0
0
0 
O M 

L µ f 
L
L
)
1 *T ˆ
1
q& Mq& − q *T Kˆ q = q& *T Rˆ −1 Rˆ Mˆ Rˆ −1 Rˆ q& − q *T Rˆ −1 Rˆ Kˆ Rˆ −1 Rˆ q =
2
2
(
)
[
]
1 *T ˆ *T ˆ ˆ ˆ *T ˆ
q& R RMR Rq& − q *T Rˆ *T Rˆ Kˆ Rˆ *T Rˆ q =
2
1
1
*T
*T
= (Rˆ q& ) Rˆ Mˆ Rˆ *T Rˆ q& − (Rˆ q ) Rˆ Kˆ Rˆ *T Rˆ q = q& ′*T Mˆ ′q& ′ − q′*T Kˆ ′q′
2
2
punktowa do
gdzie Kˆ ′ ≡ Rˆ Kˆ Rˆ −1 = Rˆ Kˆ Rˆ *T , q′ ≡ Rˆ q transformacja
nowych zmiennych
=
macierz symetryczna
Ostatecznie lagrangian w nowych
L
zmiennych przyjmuje postać
(
)
1 f
1 f
2
= ∑ µ k q& k′ − ∑ K kl′ qk′ ql′
2 k =1
2 k ,l =1
Ponadto
(Kˆ − ω Mˆ )a = 0 ⇔ (Rˆ Kˆ Rˆ
2
*T
)
(
)
− ω 2 Rˆ Mˆ Rˆ *T Rˆ a = 0 ⇔ Kˆ ′ − ω 2 Mˆ ′ a′ = 0, a′ = Rˆ a
Mechanika. Wykład XII.
Małe drgania
Dokonajmy kolejnej transformacji punktowej do zmiennych, w których macierz M’ zostanie
sprowadzona do macierzy jednostkowej
″
′
ql ≡ µl ql , l = 1,2,K , f
W nowych zmiennych lagrangian moŜna zapisać w postaci
(
1 f
1 f
1
2
L = ∑ q& k′′ − ∑ K kl′′ q′k′ql′′ = q& ′′*T 1̂q& ′′ − q′′*T Kˆ ′′q′′
2 k =1
2 k ,l =1
2
K kl′
gdzie K kl′′ ≡
= K lk′′ k , l = 1,2,K , f
)
µ k µl
Kˆ ′′ − macierz symetryczna rzeczywista ⇒ hermitowska
Ponadto
(Kˆ ′ − ω
2
)
(
)
″
′
Mˆ ′ a′ = 0 ⇔ Kˆ ′′ − ω 2 a′′ = 0, al ≡ µl al , l = 1,2,K , f
ZałóŜmy, Ŝe macierz K’’ ma f róŜnych wartości własnych. Macierz K’’ jest hermitowska, więc
jej wartości własne są rzeczywiste.
PoniewaŜ macierz K’’ jest hermitowska, wektory własne odpowiadające róŜnym wartościom
własnym są ortogonalne i tworzą bazę ortogonalną (ew. ortonormalną).
Macierz T przejścia do bazy ortonormalnej jest unitarna.
Macierz K’’ zapisana w nowej bazie jest diagonalna.
Mechanika. Wykład XII.
Małe drgania
Tˆ − macierz unitarna ⇒ Tˆ −1 = Tˆ *T , Kˆ ′′′ ≡ TˆKˆ ′′Tˆ −1 = TˆKˆ ′′Tˆ *T
Lagrangian moŜna zapisać w postaci
L=
(
)
ω12 0

2
ω
0
2
=
M
M

0
 0
(
0

0
O M 
2
L ω f 
L
L
)
1
1 *T
q& ′′ 1̂q& ′′ − q′′*T Kˆ ′′q′′ = q& ′′*T Tˆ −1Tˆ1̂Tˆ −1Tˆq& ′′ − q′′*T Tˆ −1TˆKˆ ′′Tˆ −1Tˆq =
2
2
(
)
1
= q& ′′′*T 1̂q& ′′′ − q′′′*T Kˆ ′′′q′′′ , gdzie q′′′ ≡ Tˆq′′
2
transformacja punktowa do nowych
zmiennych, tzw. współrzędnych
normalnych
Ostatecznie lagrangian we współrzędnych normalnych przyjmuje postać diagonalną
(
1 f
L = ∑ q& ′k′′2 − ω k2 q′k′′2
2 k =1
)
Poprzez ciąg transformacji punktowych współrzędnych
uogólnionych dokonaliśmy jednoczesnej diagonalizacji macierzy
mas M i stałych spręŜystości K.
Ponadto
(Kˆ ′′ − ω Mˆ ′′)a′ = 0 ⇔ (Kˆ ′′′ − ω )a′′′ = 0, a′′′ = Tˆa′′
ω =ω
′
′
′
⇔ (ω − ω )a
= 0, l = 1,2,K , f ⇒
a′′′ = (0,0,K , a′′′ ,K ,0 ) ,
2
2
l
2
2
l
(l )
(l )
(l )
T
l
a′′′(l ) l ≠ 0
l-ta współrzędna
Mechanika. Wykład XII.
Małe drgania
We współrzędnych normalnych równania Lagrange’a przyjmują postać
q&&l′′′+ ω l2 ql′′′= 0, l = 1,2,K , f
(równania dla jednowymiarowego oscylatora harmonicznego)
Rozwiązanie układu równań Lagrange’a rozpada się na f niezaleŜnych modów normalnych
ql′′′(t ) = al′′′cos(ω l t + ϕ l ), l = 1,2,K , f
(drgania jednowymiarowego oscylatora)
Poprzez transformację odwrotną moŜna wrócić do zmiennych q
 µ1−1 2

0
*T
*T

ˆ
′
′
′
q = R ST q , S ≡
 M

 0
0 

0 
O
M 
−1 2 
L µ3 
L
L
0
µ 2−1 2
M
0
i zapisać drgania w pierwotnych współrzędnych uogólnionych q jako kombinację liniową modów
normalnych
PoniewaŜ transformacje punktowe są kanoniczne, równieŜ hamiltonian moŜna zapisać w postaci
diagonalnej, uŜywając jako zmiennych kanonicznych współrzędnych normalnych i sprzęŜonych z
nimi pędów
(
1 f
H = ∑ p′k′′2 + ω k2 q′k′′2
2 k =1
)