1 KATEDRA AUTOMATYKI, BIOMECHANIKI I MECHATRONIKI

KATEDRA AUTOMATYKI, BIOMECHANIKI
I MECHATRONIKI
Laboratorium Mechaniki technicznej
Ćwiczenie 6
Modelowanie i symulacje numeryczne układów dynamicznych w programie Scilab.
1
1. Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z możliwością wykorzystania pakietu Scilab do modelowania i symulacji numerycznych dynamiki prostych układów mechanicznych.
2. Obsługa programu Scicos, tworzenie prostego modelu
Scicos zawiera edytor graficzny który można wykorzystać do tworzenia schematów blokowych
układów dynamicznych. Bloki mogą pochodzić z różnych palet udostępnionych w Scicos lub
mogą być definiowane przez użytkownika.
1.
Uruchomienie
Scicos jest programem narzędziowym Scilab-a zawartym w jego pakiecie. Urucha-
miamy go komendą xcos w oknie
Scilab’a.
--> xcos;
2.
Środowisko SCICOS wygląda jak na rys. poniżej:
Po lewej stronie widoczne jest okno Przeglądarki palet, po prawej Okno projektu. Obowiązkiem studentów przygotowujących się do zajęć jest przećwiczenie przykładu podanego w
instrukcji.
3.
Budowa modelu.
Wybrać paletę Źródła oraz wybrać blok generacji sygnału jak pokazano na rys. Naciśnięcie
prawego przycisku myszy nad komponentem wyświetli menu kontekstowe, w którym można
wybrać albo przeniesienie komponentu do okna projektu, albo wywołanie kontekstowej pomocy w celu zapoznania się z tym elementem. Przenosimy element do okna projektu, gdzie
2
można go umieścić w wybranej pozycji. Przytrzymanie wskaźnika myszy nieruchomo nad
komponentem powoduje wyświetlenie okienka z listą najważniejszych parametrów i ich wartości.
Podwójne kliknięcie na komponencie otwiera okno parametrów, w którym należy wpisać
dane,
jak poniżej:
Z palety Sinks wybrać element (wskaźnik) CSCOPE:
I umieścić go w oknie projektu a następnie połączyć te dwa komponenty:
3
Zapoznać się z ustawieniem parametrów wskaźnika. Do poprawnej symulacji potrzebna
jest podstawa czasu, należy więc z palety Źródła pobrać generator zdarzeń i połączyć go wg
schematu.
Aby dokonać symulacji, wystarczy wybrać operacje Start z menu Symulacja. Parametry
symulacji mogą być ustawione poprzez operacje Symulacja -> Ustawienia. Uruchomienie symulacji dla układu na rysunku prowadzi do otwarcia okna graficznego i wyświetlenia sygnału
sinusoidalnego.
Okno to jest otwierane i odnawiane przez blok wskaźnika. Wynik symulacji jest przedstawiony na rysunku powyżej. W tym przypadku, całkowity czas symulacji (Ostateczny czas integracji) jest ustawiony na 30. Domyślny czas jest bardzo długi i dlatego najczęściej należy go
zmienić. Symulacja może być przerwana z wykorzystaniem przycisku „Zatrzymaj” w głównym
oknie Scicos’a, po czym użytkownik może kontynuować obliczenia, edytować wyniki lub je
restartować.
4
3. Model matematyczny oscylatora harmonicznego o 1 stopniu swobody:
Na rysunku 1 przedstawiono schemat układu złożonego z masy połączonej z nieruchomą
podporą poprzez sprężynę i tłumik bez uwzględnienia zjawiska tarcia.
x
c
cx
kx
m
m
k
Schemat oscylatora harmonicznego tłumionego
oraz układ uwolniony od więzów
Równanie ruchu na podstawie II zasady dynamiki Newtona jest następujące:
mx  cx  kx  0
Na rysunku 2 przedstawiono schemat układu złożonego z masy połączonej z nieruchomą
podporą poprzez sprężynę.
Model oscylatora harmonicznego z tarciem suchym bez tłumienia wiskotycznego oraz jego układ uwolniony od więzów
Równanie ruchu na podstawie II zasady dynamiki Newtona jest następujące:
mx  μN sign x   kx  0
Na rysunku 3 przedstawiono schemat układu złożonego z masy połączonej z nieruchomą
podporą poprzez sprężynę oraz tłumik z uwzględnieniem zjawiska tarcia.
5
Model oscylatora harmonicznego z tarciem suchym z tłumieniem wiskotycznym oraz jego układ uwolniony od więzów
Równanie ruchu na podstawie II zasady dynamiki Newtona jest następujące:
mx  μN sign x  kx  cx  0
Na rysunku 4 przedstawiono schemat układu z siłowym wymuszeniem zewnętrznym F(t)
złożonego z masy połączonej z nieruchomą podporą poprzez sprężynę oraz tłumik z uwzględnieniem zjawiska tarcia.
Model oscylatora harmonicznego z tarciem suchym, z tłumieniem wiskotycznym, z wymuszeniem siłą zewnętrzną F t  oraz jego układ
uwolniony od więzów
Równanie ruchu na podstawie II zasady dynamiki Newtona jest następujące:
mx  μN sign x  kx  cx  F(t )
6
Schemat operacyjny służący do rozwiązania równania ruchu powyżej.
4.
Równania dynamiki wahadła matematycznego::
L
φ
t
m.
φ
mg
Zgodnie z drugim prawem dynamiki Newtona w postaci
𝑛
̅
𝑚 𝑝̅ = ∑ 𝐹𝑖
𝑖=1
Rzutujemy powyższe równanie na kierunek t:
𝑚𝑝𝑡 = −𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝜑
𝑝𝑡 = 𝜑̈ ∙ 𝑙
𝑚𝜑̈ 𝑙 = −𝑚𝑔𝑠𝑖𝑛𝜑
7
𝑔
𝜑̈ + 𝑙 𝑠𝑖𝑛𝜑 = 0 →jest to równanie dynamiki wahadła
Jeżeli wahadło matematyczne jest opisane dla niewielkich wychyleń, możemy przyjąć, że
𝜑 ≈ 𝑠𝑖𝑛𝜑
𝜑̈ +
𝑔
𝑠𝑖𝑛𝜑 = 0
𝑙
Oznaczając:
𝑔
𝑙
= 𝛼2
𝜑̈ + 𝛼 2 𝜑 = 0 → jest to równanie liniowe opisujące w przybliżeniu małe wahania wahadła
Rozwiązaniem powyższego równania jest funkcja:
𝑥(𝑡) = 𝐴 cos(𝛼𝑡 + 𝜑0 )
gdzie 𝐴 𝑖 𝜑0 są stałymi zależnymi od warunków początkowych
𝛼 - jest to częstość
2𝜋
czyli 𝑇 = 𝛼 jest okresem drgań.
4.1 Badanie drgań wahadła matematycznego:
Do rozwiązania równania ruchu służy poniższy schemat operacyjny zbudowanych w programie Scicos.
8
5. Przebieg ćwiczenia
Podczas wykonywania ćwiczenia należy wykonać czynności:
 Zapisać parametry podane przez prowadzącego w tabeli
 Zbudować model w xcosie oscylatora mechanicznego tłumionego, z uwzględnieniem
tarcia suchego, wymuszonego siłą harmoniczną.
 Przeprowadzić przykładowe symulacje oscylatora. Wykonać krzywą rezonansową w
przypadku: a) braku oporów, b) dla tłumienia wiskotycznego (bez tarcia suchego), c)
dla pełnych oporów ruchu.
 Zbudować model w xcosie wahadła matematycznego w wersjach pełnej i zlinearyzowanej.
 Wykonać szereg symulacji drgań wahadła dla różnych amplitud (2, 4, 6, 8, 10, 15, 20,
30, 40, … 160°) drgań. Wykonać wykres okresu drgań w funkcji amplitudy dla wahadła
pełnego i zlinearyzowanego. Zwrócić uwagę na kształt rozwiązania.
 Zapisać wnioski
Sprawozdanie musi zawierać:
 Stronę tytułową dostarczoną przez prowadzącego.
 Cel ćwiczenia.
 Czytelny opis badanych układów mechanicznych, odpowiednie schematy i równania.
 Wyniki (wykresy) przeprowadzonych symulacji wraz z opisami.
 Wnioski.
Sprawozdanie musi zawierać czytelny podział treści (rozdziały i podrozdziały). Więcej informacji udzieli prowadzący ćwiczenie.
6. Wymagania wstępne
Do przystąpienia do wykonywania ćwiczenia niezbędna jest znajomość zagadnień:
– oscylator o 1 stopniu swobody, tłumiony, z uwzględnieniem tarcia suchego, wymuszony siłą
(schemat mechaniczny, układ sił, równanie ruchu)
– wahadło matematyczne (schemat mechaniczny, układ sił, równanie ruchu pełne i zlinearyzowane)
9