Egzamin – II termin
Transkrypt
Egzamin – II termin
Egzamin z metod numerycznych, informatyka stosowana, rok 2, II termin 28 II 2014 Informacje dla zdających: 1. Egzamin trwa 90 minut. Można pracę oddać wcześniej i wyjść, ale tylko do pół godziny po rozpoczęciu. 2. Podczas egzaminu wolno korzystać jedynie z kalkulatora, narzędzi do pisania i materiałów otrzymanych od prowadzących egzamin. Wszelkie przedmioty poza wspomnianymi powinny być pozostawione w torbach/plecakach we wskazanym przez egzaminujących miejscu. W szczególności nie wolno używać telefonów komórkowych i własnych kartek. 3. Wszystkie kartki z rozwiązaniami należy podpisać imieniem i nazwiskiem. Na pierwszej kartce, obok imienia i nazwiska należy narysować prostokąt a w środku wpisać swój „pseudonim artystyczny” pod jakim wynik egzaminu zostanie ogłoszony. Zadania: 1. (400 punktów) Wykorzystując metodę iteracji prostej znaleźć pierwsze przybliżenie rozwiązania poniższego układu równań. Wykorzystując metodę iteracji Seidela ⎧ znaleźć drugie przybliżenie ⎨ 4𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 2 𝑥 − 4𝑦 + 2𝑧 = 1 . rozwiązania poniższego układu równań. Uzasadnić zbieżność metod: ⎩ 3𝑥 + 4𝑧 = −1 2. (400 punktów) W wyniku zmian klimatycznych podniósł się poziom wód w rzekach i państwu Numerica grozi powódź. W celu ochrony gruntów, król postanowił zbudować zbiornik retencyjny. Zbiornik ten ma kształt walca zakończonego u dołu półsferą. Objętość zbiornika wyraża się wzorem 𝑉 (ℎ, 𝑟, 𝜋) = 𝜋𝑟2 ℎ+ 32 𝜋𝑟3 , gdzie ℎ ≈ 30𝑚, 𝑟 ≈ 20𝑚, 𝜋 ≈ 3. Obliczyć jaki błąd można popełnić mierząc wymiary zbiornika i z jaką dokładnością należy obliczyć liczbę 𝜋, aby błąd objętości zbiornika nie przekroczył 3 tysięcy litrów (1𝑚3 = 1000 l). Obliczenia przeprowadzić zgodnie z zasadą jednakowo dokładnego pomiaru i zasadą równego wpływu (podpisać obie metody). 3. (400 punktów) W pewnym małżeństwie studentów Informatyki Stosowanej UEK mąż wykazywał się niebywałą niepamięcią o rocznicy ślubu. Kiedy po raz kolejny próbował dowiedzieć się podstępnie, jaka jest dokładna data, żona odpowiedziała: „Dam Ci wskazówkę: iloczyn dnia miesiąca i numeru miesiąca wynosi 136, zaś różnica kwadratu dnia miesiąca i podwojonego kwadratu numeru miesiąca jest równa 161.” Zrozpaczony mąż zadumał się: „To było koło 15 lipca chyba... Co tu zrobić? Wiem! Nareszcie przydadzą mi się na coś te metody numeryczne z drugiego roku! Zaatakuję problem naukowo: metodą Newtona rozwiązywania układów równań nieliniowych! Pierwsze przybliżenie powinno być wystarczające.” Korzystając z pierwszego przybliżenia wspomnianej powyżej metody odpowiedzieć na pytanie: jaka jest data rocznicy ich ślubu? 4. (400 punktów) Za pomocą metody ⎡potęgowej oszacować dominującą wartość własną i odpowiada⎤ 2 −1 1 2 ⎦. Wykonać 4 iteracje metody startując od jący jej wektor własny dla macierzy ⎣−1 3 1 2 −2 𝑇 wektora [−1, 1, 0] . Obliczyć błąd bezwzględny i błąd względny otrzymanego przybliżenia wartości własnej, zakładając, że dokładna wartość dominującej własności własnej wynosi 3, 9245. 5. (400 punktów) a) Podać przynajmniej po jednej zalecie i wadzie (w porównaniu z pozostałymi) trzech poznanych metod rozwiązywania równań nieliniowych. b) W jakiej sytuacji, dla tego samego zestawu danych, wielomian interpolacyjny Lagrange’a będzie różny od wielomianu interpolacyjnego Newtona? Jaką przewagę ma interpolacja wielomianowa Newtona nad interpolacją Lagrange’a? Uzasadnić odpowiedź. Wybrane wzory: Δ𝑥𝑖 = 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 − 𝑓 (𝑥𝑛 ) ⋅ Δ𝑓 Δ𝑓 Δ𝑓 ∣𝑥𝑖 ∣ , Δ𝑥𝑖 = ∑ ′ , Δ𝑥𝑖 = ∑ ′ , ′ 𝑛 ⋅ ∣𝑓𝑥𝑖 ∣ ∣𝑓𝑥𝑖 ∣ ∣𝑓𝑥𝑖 ∣ ⋅ ∣𝑥𝑖 ∣ 𝑥𝑛 −𝑎 𝑓 (𝑥𝑛 )−𝑓 (𝑎) albo 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 − 𝑓 (𝑥𝑛 ) ⋅ 𝑥𝑛 −𝑏 ; 𝑓 (𝑥𝑛 )−𝑓 (𝑏) 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 − 𝑓 (𝑥𝑛 ) . 𝑓 ′ (𝑥𝑛 )