Równania nieliniowe Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji

Równania nieliniowe
Izolda Gorgol
wyciąg z prezentacji
Punkt stały
DEFINICJA Niech F będzie dowolnym odwzorowaniem dowolnej przestrzeni metrycznej w siebie. Punkt s nazywamy punktem stałym odwzorowania F wtedy i tylko wtedy, gdy F (s) = s.
Odwzorowania zwężające
DEFINICJA Odwzorowanie F przestrzeni metrycznej (X, ρ) w siebie nazywamy zwężającym wtedy i tylko wtedy, gdy
istnieje stała 0 < L < 1 taka, że dla dowolnych x, y ∈ X prawdziwa jest nierówność:
ρ(F (x), F (y)) 6 Lρ(x, y).
UWAGA Odwzorowanie zwężające jest ciągłe.
Punkty stałe i odwzorowania zwężające
TWIERDZENIE (Banacha o punkcie stałym)
Niech F będzie odwzorowaniem zwężającym dowolnej przestrzeni metrycznej zupełnej (X, ρ) w siebie. Wówczas
istnieje dokładnie jeden punkt stały s tego odwzorowania. Ponadto, jeśli x0 jest dowolnym punktem tej przestrzeni
oraz xn+1 = F (xn ), to lim xn = s.
n→+∞
Wykorzystanie punktów stałych odwzorowań zwężających
Rozważamy przestrzeń metryczną (D, | |), gdzie D ⊂ R jest zbiorem domkniętym oraz funkcję ciągłą f : R → R.
Zadanie: rozwiązać równanie nieliniowe
f (x) = 0.
Sprowadzamy równanie do postaci
F (x) = x, gdzie F zależy od f .
Jeśli odwzorowanie F jest zwężające, można rozwiązanie otrzymać metodą kolejnych iteracji
xn+1 = F (xn ),
startując od dowolnego punktu x0 ∈ D.
Wygodne kryterium badania zwężania
TWIERDZENIE Niech [a, b] ⊂ R oraz F : [a, b] → [a, b] będzie funkcją różniczkowalną na [a, b]. Jeżeli |F 0 (x)| < 1
dla każdego x ∈ [a, b], to F jest funkcją zwężającą.
Metoda punktu stałego – realizacja numeryczna
Dla funkcji f konstruujemy funkcję zwężającą F (teoretycznie).
Startujemy od dowolnego punktu x0 .
Konstruujemy ciąg przybliżeń rozwiązania s według zasady:
xn+1 = F (xn ).
Obliczenia kończymy, gdy:
— |xn+1 − xn | 6 ε;
— osiągniemy M – maksymalną liczbę kroków obliczeń;
— możemy też użyć kryterium |f (xn+1 )| 6 δ.
Metoda punktu stałego – algorytm
1
Input: x0 , M, ε Output: k, se.
for k = 1 to M do
1. x1 := F (x0 );
2. if |x1 − x0 | < ε then output k, x1 ;
3. x0 := x1 ;
Analiza błędu i rząd zbieżności
TWIERDZENIE
Niech funkcja F będzie funkcją zwężającą klasy C k na przedziale [a, b], s jej punktem stałym, zaś (xn ) ciągiem
konstruowanym za pomocą zależności xn+1 = F (xn ). Ponadto niech F (l) (s) = 0 dla 1 6 l 6 k − 1 oraz F (k) (s) 6= 0.
Wówczas dla dowolnego punktu startowego x0 ∈ [a, b]
lim xn = s
n→+∞
oraz
|xn+1 − s| 6 C|xn − s|k .
Metoda jest zbieżna co najmniej rzędu k.
Układy równań nieliniowych
Rozważymy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi:
∧
f (x, y) = 0
g(x, y) = 0,
gdzie obie funkcje f i g są nieliniowe.
Metoda Newtona - wersja wielowymiarowa
Postępujemy analogicznie, jak w przypadku jednowymiarowym, tzn. lokalnie przybliżamy funkcje f i g funkcjami
liniowymi.
Niech (xr , yr ) będzie dokładnym rozwiązaniem układu równań, zaś (x0 , y0 ) jego przybliżeniem. Wówczas szukamy
poprawek hx i hy poprawiających to rozwiązanie, korzystając z liniowych składników wzoru Taylora:
0 = f (xr , yr ) = f (x0 + hx , y0 + hy ) ≈ f (x0 , y0 ) +
∂f
∂f
(x0 , y0 )hx +
(x0 , y0 )hy ,
∂x
∂y
0 = g(xr , yr ) = g(x0 + hx , y0 + hy ) ≈ g(x0 , y0 ) +
∂g
∂g
(x0 , y0 )hx +
(x0 , y0 )hy .
∂x
∂y
Metoda Newtona - wersja wielowymiarowa cd.
Otrzymujemy układ równań:
"
gdzie J =
∂f
∂x (x0 , y0 )
∂g
∂x (x0 , y0 )
∂f
∂y (x0 , y0 )
∂g
∂y (x0 , y0 )
−f (x0 , y0 )
−g(x0 , y0 )
=J·
hx
hy
,
#
jest macierzą Jacobiego.
Stąd rozwiązanie:
hx
hy
= −J
−1
f (x0 , y0 )
g(x0 , y0 )
·
Metoda Newtona - postać dwuwymiarowa
xk+1
yk+1
=
xk
yk
hx
hy
f (x0 , y0 )
g(x0 , y0 )
+
,
gdzie
J·
hx
hy
=−
2
Metoda Newtona - postać wielowymiarowa
F - odwzorowanie n-wymiarowe
Xk - k-ty wektor przybliżający rozwiązanie
Hk - k-ty wektor poprawek
Xk+1 = Xk + Hk ,
gdzie Hk jest rozwiązaniem układu równań
F 0 (Xk )Hk = −F (Xk )
Metoda Newtona - postać wielowymiarowa
UWAGI
— W praktyce numerycznej nie odwraca się macierzy J = F 0 (Xk ), ale rozwiązuje powyższy układ równań jedną z
numerycznych metod rozwiązywania układów równań liniowych (np. metodą eliminacji Gaussa).
— Oczywiście, aby istniało rozwiązanie, macierz Jacobiego musi być nieosobliwa.
— Podobnie jak w przypadku jednowymiarowym dowodzi się istnienia punktu startowego X0 , dla którego metoda
jest zbieżna.
3