Metoda probabilistyczna

Metoda probabilistyczna - zadania
Marcin Kotowski, Michał Kotowski
12 sierpnia 2011
Część z tych zadań była rozwiązywana na zajęciach lub jest na liście zadań domowych
k
Zadanie 1. Pokazać, że jeśli nk 21−(2) < 1, to zachodzi oszacowanie na liczbę Ramseya R(k, k) > n (w
szczególności R(k, k) > b2k/2 c dla k ­ 3).
Zadanie 2. Pokaż, że istnieje turniej o n wierzchołkach mający co najmniej
Hamiltona.
n!
2n−1
skierowanych ścieżek
Zadanie 3. Danych jest n wektorów v1 , . . . , vn ∈ Rn , każdy o długości 1. Pokazać, że istnieje taki wybór
znaków εi = ±1, że :
√
kε1 v1 + . . . + εn vn k ¬ n
jak również taki wybór znaków, że:
kε1 v1 + . . . + εn vn k ­
√
n
(kvk oznacza długość wektora v)
Zadanie 4. Niech A1 , . . . , An , B1 , . . . , Bn będą skończonymi podzbiorami N takimi, że: a) dla każdego i
Ai ∩ Bi = ∅, b) dla każdych i 6= j (Ai ∩ Bj ) ∪ (Aj ∩ Bi ) 6= ∅. Pokazać, że dla dowolnego 0 ¬ p ¬ 1 zachodzi:
n
X
p|Ai | (1 − p)|Bi | ¬ 1
i=1
Zadanie 5. Niech S będzie skończonym zbiorem punktów na płaszczyźnie takim, że żadne trzy z nich nie
są współliniowe. Dla każdego wielokąta wypukłego P o wierzchołkach z S, niech a(P ) oznacza liczbę jego
wierzchołków, a b(P ) - liczbę punktów z S znajdujących się na zewnątrz P (zbiór pusty, punkt i odcinek
traktujemy jako wielokąty o 0, 1, 2 wierzchołkach). Pokazać, że dla dowolnego x:
X
xa(P ) (1 − x)b(P ) = 1
P
gdzie suma jest po wszystkich wielokątach wypukłych o wierzchołkach w S.
Zadanie 6. Przekrojem grafu G nazwiemy podział jego wierzchołków na dwa rozłączne zbiory V i W .
Krawędziami przekroju nazwiemy wszystkie krawędzie pomiędzy V a W . Pokaż, że w każdym grafie o m
krawędziach istnieje przekrój zawierający co najmniej m
2 krawędzi. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania
takiego przekroju? Ile średnio należy wykonać prób, aby otrzymać żądany przekrój z prawdopodobieństwem
np. > 12 ?
Zadanie 7. Pokazać, że można podzielić N na dwa rozłączne zbiory tak, że żaden z nich nie zawiera ani
trzech kolejnych liczb, ani nieskończonego ciągu arytmetycznego.
Zadanie 8. Antyłańcuchem nazwiemy rodzinę F = {S1 , . . . , Sk } podzbiorów {1, . . . , n} taką, że dla żadnych
i, j nie zachodzi Si ⊆ Sj . Pokazać, że:
X 1
¬1
n
i
|Si |
Jaki jest maskymalna możliwa ilość zbiorów w antyłańcuchu?
1
Zadanie 9. Turniej T o ­ k wierzchołkach nazwiemy k-zdominowanym, jeśli dla każdego zbioru k graczy istnieje w T gracz, który z nimi wszystkimi wygrywa. Pokazać, że dla każdego k istnieje turniej k-zdominowany
o więcej niż k wierzchołkach.
Zadanie 10. Pokazać, że w każdym grafie o n wierzchołkach i średnim stopniu d =
n
.
niezależny mocy co najmniej d+1
2m
n
istnieje zbiór
Zadanie 11. Rozpatrzmy graf o n wierzchołkach
i m krawędziach ponumerowanych liczbami od 1 do m.
Pokazać, że w grafie istnieje ścieżka długości 2m
o etykietach posortowanych rosnąco.
n
Zadanie 12. Pokazać, że można pokolorować klikę Kn dwoma kolorami tak, aby zawierała co najwyżej:
n 1−(2l )
2
l
monochromatycznych klik Kl .
1
Zadanie 13. Pokazać, że dla każdego k ­ 3 i n istnieje graf o n wierzchołkach, co najmniej 14 n1+ k krawędziach i obwodzie co najmniej k.
Zadanie 14. Pokazać, że dla dowolnych k i l istnieje graf G o obwodzie większym niż l i liczbie chromatycznej
χ(G) większej niż k.
Zadanie 15. Dany jest zbiór niezerowych liczb całkowitych {b1 , . . . , bn }. Pokazać, że zawiera on podzbiór A
mocy > 31 n o następującej własności: żaden element z A nie daje się przedstawić jako suma dwóch innych
elementów z A.
Zadanie 16. Niech F będzie rodziną k-elementowych podzbiorów
zbioru {0, . . . , n − 1}, z których każde dwa
mają niepuste przecięcie. Niech n ­ 2k. Pokazać, że |F| ¬ n−1
k−1 .
Zadanie 17. Niech G będzie grafem o n wierzchołkach i minimalnym stopniu δ > 1. Zbiorem dominującym
w grafie G nazwiemy taki zbiór A, że każdy wierzchołek w G jest połączony z jakimś wierzchołkiem z A.
Pokazać, że istnieje w G zbiór dominujący mocy co najwyżej n · 1+log(1+δ)
.
1+δ
Zadanie 18. Hipergraf H nazwiemy 2-kolorowalnym, jeśli istnieje kolorowanie jego wierzchołków dwoma
kolorami takie, że żadna krawędź nie jest monochromatyczna. Pokazać, że każdy n-hipergraf mający mniej
niż 2n−1 krawędzi jest 2-kolorowalny.
n−1
Zadanie 19. Niech H będzie n-hipergrafem o co najwyżej 4 3n krawędziach, gdzie n ­ 4. Pokazać, że można
pokolorować wierzchołki H czterema kolorami tak, aby w każdej hiperkrawędzi występowały wszystkie kolory.
Zadanie 20. Załóżmy, że dany jest graf G o |V | wierzchołkach i |E| krawędziach, który chcemy narysować
na płaszczyźnie. Niech cr(G) oznacza najmniejszą możliwą liczbę skrzyżowań krawędzi grafu G. Pokazać, że
|E|3
1
· |V
jeśli |E| ­ 4|V |, to cr(G) ­ 64
|2 . Wskazówka: można użyć wniosku ze wzoru Eulera, który mówi, że graf
planarny o n wierzchołkach ma co najwyżej 3n − 6 krawędzi.
Zadanie 21. Niech (x1 , . . . , x2n ) będzie permutacją zbioru {1, . . . , 2n}. Powiemy, że permutacja ma własność
P, jeśli dla pewnego i zachodzi |xi+1 − xi | = n. Pokazać, że dla każdego n własność P ma ponad połowa
wszystkich permutacji.
Zadanie 22. Na zawodach jest a zawodników i b sędziów, gdzie b jest nieparzyste. Każdy sędzia daje każdemu
zawodnikowi ocenę 0 lub 1. Niech k będzie liczbą taką, że dowolnych dwóch sędziów daje takie same wyniki
co najwyżej k zawodnikom. Pokazać, że ka ­ b−1
2b .
Zadanie 23. Niech n, k > 0. Niech S będzie zbiorem n punktów płaszczyzny takim, że żadne trzy z nich nie
są współliniowe oraz dla każdego punktu√x ∈ S istnieje co najmniej k punktów x1 , . . . , xk ∈ S o równych
odległościach od x. Pokazać, że k ¬ 12 + 2n.
2
Zadanie 24. Pokazać, że dla każdego n istnieje skończony zbiór S punktów na płaszczyźnie taki, że dla
każdego x ∈ S istnieje dokładnie n punktów w S odległych od x o 1.
Zadanie 25. Niech A będzie zbiorem liczb całkowitych mocy n. Określamy wielkość µ(A) wzorem:
µ(A) = max
min
α∈(0,1) a6=b, a,b∈A
kα(a − b)k
gdzie kxk oznacza odległość od x do najbliższej liczby całkowitej. Pokazać, że µ(A) > n12 .
j n k
podzbiorów zbioru
Zadanie 26. Pokazać, że dla każdego n istnieje rodzina złożona z m = 21 √23
{1, . . . , n} o następującej własności: dla żadnych parami różnych zbiorów A, B, C z tej rodziny nie zachodzi
A ∩ B ⊆ C ⊆ A ∪ B.
j n k
Zadanie 27. Pokazać, że dla dowolnego n ­ 1 istnieje zbiór m = 12 √23
punktów w Rn taki, że każde
trzy punkty z tego zbioru wyznaczają kąt ostry.
Zadanie 28. Rodzinę F podzbiorów zbioru {1, . . . , n} nazwiemy k-niezależną, jeśli dla dowolnych F1 , . . . , Fk ∈
F wszystkie 2k przecięć postaci F1± ∩ . . . ∩ Fk± jest niepustych, gdzie Fi+ oznacza zbiór Fi , a Fi− jego dopełnienie. Pokazać, że jeśli:
m k
2 (1 − 2−k )n < 1
k
to istnieje k-niezależna rodzina mocy co najmniej m.
Zadanie 29. Niech G będzie grafem o n wierzchołkach i m = nd
2 krawędziach, gdzie d ­ 1. Pokazać, że
n
α(G) ­ 2d
, gdzie α(G) to rozmiar największego zbioru niezależnego w G.
Zadanie 30. Pokazać, że istnieje stała c > 0 o następującej własności. Niech A = {aij }ni,j=1 będzie tablicą
rozmiaru n × n, której wszystkie wyrazy są parami różne. Wówczas istnieje
√ taka permutacja wierszy A, że po
tej operacji żadna kolumna nie zawiera podciągu rosnącego długości ­ c n.
Zadanie 31. Niech G będzie grafem dwudzielnym. Pokazać, że istnieje w G podgraf H nie zawierający cyklu
długości 4 taki, że E(H) ­ 34 E(G)2/3 .
Zadanie 32. Niech W (r, k) oznacza najmniejszą liczbę N taką, że każde r-kolorowanie
zbioru {1, . . . , N }
√
zawiera monochromatyczny ciąg arytmetyczny długości k. Pokazac, że W (r, k) > 2r(k−1)/2 .
Zadanie 33. Niech A będzie podzbiorem {0, 1}n . A nazwiemy zbiorem (n, k)-uniwersalnym, jeśli dla dowolnych k współrzędnych ze zbioru 1, . . . , n rzut A na te współrzędne zawiera wszystkie ciągi z {0, 1}k . Pokazać,
że dla każdego n i k istnieje zbiór (n, k)-uniwersalny mocy co najwyżej k2k log n.
Zadanie 34. Niech f (n) oznacza największe możliwe k o tej własności,P
że istnieje zbiór {x1 , . . . , xk } ⊆
{1, . . . , n}, dla którego wszystkie możliwe sumy elementów są różne (tj.
i∈S xi są różne dla wszystkich
S ⊆ {1, . . . , k}). Korzystając z metody drugiego momentu podaj górne ograniczenie na f (n).
Zadanie 35. Niech v1 = (x1 , y1 ), . . . , vn = (xn , yn ) będą wektorami na płaszczyźnie, gdzie xi , yi to liczby
n
całkowite nie większe co do modułu od 32√2n . Pokazać, że istnieją dwa rozłączne zbiory I, J ⊆ {1, . . . , n} takie,
że:
X
X
vi =
vj
i∈I
j∈J
Zadanie 36. Niech p będzie liczbą pierwszą, a k liczbą naturalną. Niech X będzie podzbiorem {0, . . . , p − 1}
mocy co najmniej 4k 2 . Pokazać, że istnieją takie a, b ∈ {0, . . . , p − 1}, że zbiór aX + b mod p przecina każdy
przedział długości co najmniej kp zawarty w {0, . . . , p − 1}.
Zadanie 37. Pokazać, że p(n) =
1
n
jest funkcją progową istnienia trójkątów w grafie Gn,p .
3
2
Zadanie 38. Pokazać, że p(n) = n− 3 jest funkcją progową istnienia kliki K4 w grafie Gn,p .
Zadanie 39. Ustalmy graf G o v wierzchołkach i e krawędziach. Interesuje nas prawdopodobieństwo progowe,
v
że graf Gn,p zawiera kopię G. Czy prawdopodobieństwo to zawsze wynosi n− e ?
Zadanie 40. Alicja i Bob grają w następującą grę - na polach ponumerowanych od 0 do n leży pewna liczba
żetonów. Niech xi oznacza liczbę żetonów na i-tym polu. W każdej rundzie Alicja dzieli żetony dowolnie na
dwa zbiory A i B, a Bob usuwa z gry albo wszystkie żetony należące do A, albo wszystkie należące do B.
Po każdej rundzie żetony, które przetrwały, są przesuwane o jeden w prawo. Alicja wygrywa, gdy uda się jej
umieścić przynajmniej jeden żeton na polu n. Pokazać, że Bob ma strategię wygrywającą wtedy i tylko wtedy,
gdy:
X
xi 2n−i < 1
i
Zadanie 41. Alicja i Bob grają w następującą grę - na polach ponumerowanych od 0 do k leży pewna liczba
żetonów. Niech xi oznacza liczbę żetonów na i-tym polu. W każdej rundzie Bob dzieli żetony dowolnie na
dwa zbiory A i B, a Alicja przesuwa w lewo wszystkie żetony należące do A, albo wszystkie należące do B
(żetony z pola 0 przy przesunieciu w lewo są usuwane). Gra trwa n rund. Bob wygrywa, gdy pod koniec gry
na planszy zostanie co najwyżej jeden żeton, w przeciwnym wypadku wygrywa Alicja. Pokazać, że Alicja ma
strategię wygrywającą gdy:
k
X
xi B(i, n) > 1
i=0
gdzie B(i, n) = 2
−n
Pj=0
i
n
j
.
Zadanie 42. Korzystając z metody warunkowych wartości oczekiwanych zderandomizuj algorytm szukania
w grafie przekroju rozmiaru ­ m
2 z zadania 6.
Zadanie 43. Rozpatrzmy grupę n osób, w której każda osoba posiada lub nie posiada jednej z n cech. Niech
aij = 1, gdy osoba j posiada cechę i, i aij = 0 w przeciwnym
P przypadku.
P Dla ustalonego podziału grupy na
dwie podgrupy A, B rozpatrujemy wielkość χ(A, B) = maxj | i∈A aij − j∈B aij |. Interesuje nas znalezienie
podziału, który minimalizuje χ (innymi słowy, szukamy takiego podziału, że dla każdej cechy liczby osób
posiadających ją są możliwie równe w obu grupach).
Znajdź jak najlepsze ograniczenie górne na χ (niezależnie od grupy).
Zadanie 44. Drzewem AND-OR nazwiemy pełne drzewo binarne wysokości 2k, w którego liściach znajdują
się wartości 0 lub 1, w węzłach wewnętrznych na nieparzystej głębokości spójnik koniunkcji AND, a w węzłach
na parzystej głębokości - alternatywa OR. Wartością drzewa nazywamy wyrażenie obliczone rekurencyjnie
- wartość węzła AND jest równa koniunkcji wartości jego poddrzew i analogicznie wartość węzła OR jest
równa alternatywie wartości jego poddrzew.
Algorytm ewaluujący drzewo ma zadanie obliczyć wartość drzewa poprzez zapytania o wartości liści. Koszt
algorytmu jest równy liczbie zapytań.
• pokazać, że dla dowolnego deterministycznego algorytmu istnieje drzewo o n = 22k liściach, którego
ewaluacja wymaga obejrzenia wszystkich liści (tj. pesymistyczny koszt działania każdego algorytmu wynosi n zapytań)
• skonstruuj algorytm randomizowany, którego oczekiwana liczba zapytań na dowolnym drzewie jest
mniejsza niż n
4