1 Powtórzenie z algebry - poj˛ecia

1 Powtórzenie z algebry - poj˛ecia
1. Algebra macierzy: dodawanie, mnożenie, transponowanie
2. Własności wyznacznika macierzy
3. Formy kwadratowe, definicja dodatniej określoności
4. Definicja śladu - własności śladu
5. Definicja macierzy idempotentnej
6. Dowód, że pierwiastki własne dla dowolnej macierzy idempotentnej M sa˛ równe
0 lub 1 i rzad
˛ tej macierzy tr (M).
7. (*) Poj˛ecie rzutu prostopadłego wektora w przestrzeń, poj˛ecie wektora ortogonalnego
8. (*) Interpretacje macierzy P i M jako macierzy rzutów
1.1 Zadania
1. Mamy macierze
·
A=
1 2 1
1 3 1
¸


2 3
, B = 1 1 
2 3
Policzyć 2A, B0 , A + B0 , AB, |AB|. Wyjaśnić dlaczego nie można policzyć
AB0 i A + B
2. Mamy dwie macierz kwadratowe
·
¸
·
¸
1 2
1 2
A=
, B=
2 4
4 1
Pokazać, że macierz A jest macierza˛ symetryczna. Pokaż, że AB 6= BA. Udowodnij, że macierze A i AB sa˛ osobliwe.
3. Rozwinać
˛ (załóżmy, że A i B sa˛ odwracalne): (A + B) (C + D)0 , (AB)−1 B−1 ,
(BA)−1 B−1 , A (A + B)−1 , |AB|
0
4. Pokazać, że dla dowolnego odwracalnego A, (A−1 ) = (A0 )−1
5. Pokazać (z definicji), że macierz X0 X jest nieujemnie określona
1
6. Pokazać (z definicji liniowej niezależności), że macierz X0 X jest nieosobliwa jeśli
kolumny macierzy X sa˛ liniowo niezależne
7. (*) Udowodnić, że X0 X jest dodatnio określona to (X0 X)−1 jest też dodatnio
określona (skorzystaj z dekompozycji spektralnej macierzy symetrycznej)


1 1
8. (*) Mamy macierz A =  1 −2  , znajdź macierz idempotentna˛ A⊥ ortog1 1
 
1

2  , znaleź taki wektor v, że
onalna˛ do tej macierzy. Dla wektora x =
3
x = Av + A⊥ x. Pokaż, że kwadrat długości wektora x jest równy sumie długości wektorów Av i A⊥ x. Udowodnij, że nie istnieje taki wektor z dla którego
długość wektora x − Az byłaby mniejsza niż długość wektora x − Av
9. Udowodnij, że dla macierzy A i B o odpowiednich wymiarach (AB)0 = B0 A0
10. Udowodnij, że dla śladu macierzy prawda˛ jest, że tr (A + B) = tr (A) + tr (B) ,
tr (AB) = tr (BA)
11. Pokaż, że dla idempotentnego P, M = I − P jest także idempotentne oraz, że
MA = 0
12. Pokaż, że macierz P dla dowolnego A takiego, że A0 A jest nieosobliwe
−1
P = A (A0 A)
A0
jest idempotentna.
13. Udowodnij, że macierz M = I−n−1 ll0 jest macierza˛ idempotentna˛ rz˛edu n − 1
oraz l0 M =0. l jest n wymiarowym wektorem jedynek. Policzyć tr (M).
2 Analiza matematyczna - poj˛ecia
1. Poj˛ecie pochodnej funkcji skalarnej i wektorowej liczonej wzgl˛edem wektora
zmiennych
2. Pokazać, że dla wektorów kolumnowych a i β mamy
3. Pokazać, że
∂Aβ
∂β 0
4. Pokazać, że
∂β 0 Aβ
∂β 0
=Ai
∂β 0 A
∂β
=A
= 2Aβ
2
∂a0 β
∂β
=ai
∂a0 β
∂β 0
= a0
5. Jaki wartość powinien przyjmować gradient ciagłej
˛
i różniczkowalnej funkcji
f (β) w punkcie β ∗ , aby β ∗ mogło być punktem, w którym funkcja przyjmuje
maksimum
6. Jaka˛ chrakterystyczna˛ cech˛e ma macierz drugich pochodnych?
7. Jak można rozpoznać na podstawie własności macierzy drugich pochodnych, że
ekstremum funkcji wielu zmiennych jest maksiumum?
2.1 Analiza matematyczna - Zadania
1. Znaleźć gradient i Hessian dla funkcji y = 2x21 + 3x22 + 5x1 x2 − 4. Znaleźć
ekstremum tej funkcji i określ jego typ.
2. Znaleźć ekstremum funkcji y = x21 + 4x22 + x1 x2 − 1 i określić jego typ. Znaleźć
ekstremum tej samej funkcji przy warunku pobocznym x2 − 2x1 = 1 posługujac
˛ si˛e funkcja˛ Lagrange i wstawiajac
˛ ograniczenia bezpośrednio do funkcji celu.
Porównać wielkość funkcji celu w ekstremum w przypadku istnienia warunku
pobocznego i w przypadku braku tego warunku.
3. Znaleziono maksima g ∗ = maxg (x1 , x2 ) i g ∗∗ = maxg (x1 , 0). Jak si˛e maja˛ do
siebie g ∗ i g ∗∗ ?
x1 ,x2
x1
4. Znaleziono maksima z ograniczeniami (warunkami pobocznymi) g ∗ = maxg (x)
x1 ,x2
s.t. H (x) = 0 i maksimum bez ograniczeń g ∗∗ = maxg (x). Jak si˛e maja˛ do
x1 ,x2
siebie g ∗ i g ∗∗ ?
5. Znaleziono maksimum z ograniczeniami g ∗ = maxg (x) s.t. H (x) > 0, przy
x1 ,x2
czym okazało si˛e, że i-ty wiersz macierzy H (x) w punkcie maksimum jest wi˛ekszy od zera (Hi (x∗ ) > 0). Jaka jest wartość mnożnika Lagrangre’a dla i-tego
ograniczenia w tym zadaniu?
3