Ćwiczenia 11 -Metoda Rungego. Kwadratury ekstra

Ćwiczenia 11 -Metoda Rungego. Kwadratury ekstrapolacyjne
1. Niech f (x) = x1 . Metodą Rungego wyznacz siatkę dla której kwadras 1.25
1
tura trapezów przybliży całkę 0.25
f (x)dx z dokładnością do ε = 100
.
Początkowy krok wynosi h = 0.5.
2. Niech f (x) = 2x . Metodą Rungego
wyznacz siatkę dla której kwadras2
1
f (x)dx z dokładnością do ε1 = 10
,
tura trapezów przybliży całkę −2
1
ε2 = 100 . Początkowy krok wynosi h = 2.
3. sWeźmy dowolną funkcję po dowolnym przedziale. Chcemy obliczyć
b
b−a
4
. Policz
a f (x)dx, f ∈ C [a, b]. Przyjmijmy h0 = b − a, h1 =
3
przybliżoną wartość całki przy pomocy ekstrapolacji korzystając z kwadratury złożonej trapezów.
4. Do obliczania całki ab f (x)dx należy zastosować wzór złożony trapezów
i ekstrapolację przyjmując hi+1 = h3i , i = 0, 1, ..., h0 = b − a. Przedstaw
odpowiednie wzory. Zastosuj otrzymaną metodę do obliczania przybliżonej wartości ln 4 korzystając jedynie z wartości funkcji podcałkowej
1
w czterech węzłach siatki.
x
s
5. Oblicz przybliżoną wartość całki 01 t2 dt przy pomocy kwadratury Richardsona, gdzie h0 = 1, h1 = 12 , h2 = 13 .
s
6. Oblicz ln 2 metodą Romberga (h0 = 12 ) i odpowiednim wzorem złożonym trapezów dla n = 2. Porównaj błędy powstałe przy liczeniu
wartości ln 2 tymi metodami.
1 dx
, m = 2, pomocy ekstrapolacji
7. Oblicz przybliżoną wartość całki −1
x+3
korzystając z kwadratury złożonej trapezów, gdzie h0 = b−a = 2, h1 =
b−a
= 1, h2 = b−a
= 12 . Wyznacz rząd błędu przybliżenia.
2
4
s
1
2
dx, znajdź przybliżenie liczby π za pomocą
8. Wiedząc, że π = −1
1+x21
2
kwadratury Richardsona h0 = 2, h1 = 1, h2 = 12 .
s
9. Obliczyć przybliżoną wartość ln 7 metodą ekstrapolacji przyjmując h0 =
b − a, h1 = h20 , h2 = h30 .
154