x xx...,,, ]2,1[ 1 −= x ]1,1[ 2 −= x ]2,1[ x ]1,[ − = a x ]0,1,0,1,1[ 1 −= x ]0,1

Zadania nr 7 do MATEMATYKI 75
1.
Dane są wektory x = [1, 2] , y = [−1,1] oraz z
interpretację geometryczną otrzymanego wyniku.
a) − 3x
b) x − z
c)
= [3, 3] . Wyznaczyć poniŜsze wektory. Podać
x + 2y + 1 z .
3
2. Dane są wektory x = [ 2,1, 0] , y = [ −2, 0,−1] oraz z = [1,1,1] . Wyznaczyć poniŜsze wektory. Podać
interpretację geometryczną otrzymanego wyniku.
b) x − z
c) x − 2y + z .
a) 2x
4
3.W przestrzeni wektorowej R rozwiązać równanie:
a) [ −1, 0, 2, 3] = x − [2, 3,−2, 0] ;
2x = [−2, 4, 0,1] ;
x + [0, 2, − 3, 0] = [ 2,−2, 5,1] − 3x .
4. Sprawdzić, czy wektor y jest kombinacją liniową wektorów x1 , x 2 ,..., x k , gdy:
a) y = [1,−4] , x1 = [1,−2] , x 2 = [−1,1] ;
b) y = [1,−4] , x1 = [1,−2] , x 2 = [−1,1] , x 3 = [5,1] ;
b)
c)
y = [1,0] , x1 = [1, 2] , x 2 = [a, − 1] , gdzie a ∈ R jest parametrem;
d) y = [ 2, − 2,−3] , x1 = [−1, 0,1] , x 3 = [0, 2,1] ;
e) y = [1,1,1] , x1 = [ −1, 0,1] , x 2 = [0, 2,1] ;
f) y = [6,−5, 4,1,1] , x1 = [−1,1, 0,1, 0] , x 2 = [ −1,1, 0,1, 0] , x 3 = [0, 0,1,1, 2] .
c)
x1 , x 2 ,..., x k są liniowo niezaleŜne, gdy:
a) x1 = [1, 2] , x 2 = [ −3, − 6] ;
a) x1 = [1, 2] , x 2 = [ −1, 3] ;
b ) x1 = [1, 2] , x 2 = [−1, 3] , x 3 = [0,1] ;
c) x1 = [1, − 1] , x 2 = [ −1, a ] , gdzie a ∈ R jest parametrem;
d) x1 = [1,1, 0] , x 2 = [−1, 0, 2] , x 3 = [0,1, − 1] ;
e) x1 = [1,1, 0] , x 2 = [ −2, − 3,1] , x 3 = [0,1, − 1] ;
f) x 2 = [ −3,1, 0,1] , x 3 = [0, 0,1, 2] x1 = [ −1,1, 0, 0] .
5. Sprawdzić, czy wektory
6. Pokazać, Ŝe jeśli wektor
y jest kombinacją liniową wektorów x1 , x 2 ,..., x k , to wektory y ,
x1 , x 2 ,..., x k są liniowo zaleŜne.
x, y , z są liniowo niezaleŜne. Zbadać liniową niezaleŜność wektorów:
a) 4z − 2x, x − y , 2z − y ;
b) x, x − y , x + y − z .
7. Wektory
8. Podać interpretację geometryczną zbioru
V = {x ∈ R 2 : x = a + tv, t ∈ R} , gdy:
a = [0, 0], v = [2,1] ;
b) a = [0, 3], v = [ 2,1] ;
c) a = [ 2, 4], v = [2,1] ;
d) a = [ −1,−1], v = [ 2,1] .
a)
9. Sprawdzić, czy punkty
x1 , x 2 ,x 3 naleŜą do jednej prostej, gdy:
x1 = [1, 0, 2] , x 2 = [3,1, − 3, ] , x 3 = [ −1, − 1, − 1] ;
b) x1 = [1, 0, 2] , x 2 = [3,1, − 3, ] , x 3 = [ 2,1, 2] ;
c) x1 = [1, 0, − 1, 0] , x 2 = [1,1, 0,1 ] , x 3 = [1, 2,1, 2] .
a)
a = [1,−1,1] oraz b = [1,1, 2] . Sprawdzić, czy x naleŜy do
prostej przechodzącej przez punkty a i b ;
odcinka o końcach w punktach a i b , gdy:
10. Niech
I.
II.
a)
x = [1,2, 0] ,
b)
x = [1,−3, 0] ,
c)
x = [1, 1 , 7 ] .
2 4
3
11. Dany jest zbiór Vb = {x ∈ R : x1 − x 2 + 2 x3 = b} gdzie parametr b jest ustaloną liczbą rzeczywistą
oraz
a)
x1 = [1,1, 0], x 2 = [−2, 0,1] .
Pokazać, Ŝe
V0 = {x ∈ R 3 : x = αx1 + β x 2 , α , β ∈ R}
i podać interpretację geometryczną zbioru
b) Podać przykład wektora
c)
Pokazać, Ŝe V1
zbioru V1 .
V0 .
x 0 ∈ V1 , a następnie uzasadnić, Ŝe x 0 + y ∈ V1 dla kaŜdego y ∈ V0 .
= {x ∈ R 3 : x = x 0 + αx1 + βx 2 , α , β ∈ R} . Podać interpretację geometryczną
d) Sprawdzić, czy dla dowolnych wektorów jeśli
y, z ∈ V1 , to y + z ∈ V1 ?
V = {x ∈ R 3 : 2 x1 + x 2 − 3 x3 ≤ 1} . Pokazać, Ŝe jeśli a, b ∈ V , to
12. Dany jest zbiór
{x ∈ R 3 : x = ta + (1 − t )b, t ∈< 0,1 >} ⊂ V . Podać interpretację geometryczną tego faktu.
V = {x ∈ R 3 : x1 − 2 x3 = 2} oraz W = {x ∈ R 3 : − x1 + x2 + 3 x3 = 3} .
a)Wyznaczyć zbiór V ∩ W i podać interpretację geometryczną tego zbioru.
13. Dane są zbiory
b)Podać interpretację geometryczną zbioru
V ∩ W ∩ {x ∈ R 3 : x 2 + x3 = 5} .
a ∈ R zbiór V ∩ W ∩ {x ∈ R 3 : x1 + x2 + x3 = a} jest jednoelementowy.
14. Dane są wektory x1 = [1,−1] , x 2 = [0,1] .
c)Pokazać, Ŝe dla kaŜdego
a)
Pokazać, Ŝe dowolny wektor
x ∈ R 2 jest kombinacją liniową wektorów x1 i x 2 .
b) Uzasadnić, Ŝe
{x ∈ R 2 : x = αx1 + β x 2 , α , β ∈ R} = R 2 .
c)
x1 , x 2 , oraz x ∈ R 2 tworzą, przy dowolnie ustalonym wektorze x układ wektorów liniowo
Czy wektory
zaleŜnych?
15. . Dane są wektory
x1 = [1,−1,0] , x 2 = [0, 0,1] , x 3 = [1, 0,1] .
a)Pokazać, Ŝe dowolny wektor
x ∈ R 3 jest kombinacją liniową wektorów x1 , x 2 i x 3 .
b)Uzasadnić, Ŝe
{x ∈ R 3 : x = αx1 + βx 2 + γx 3 , α , β , γ ∈ R} = R 3 .
c)Czy wektory
x1 , x 2 , x 3 , x , gdzie x ∈ R 3 jest dowolnym wektorem, są liniowo niezaleŜne?