7. Ruch punktu we współrzędnych kartezjańskich KINEMATYKA

KINEMATYKA
7. Ruch punktu we współrzędnych
kartezjańskich
Zadanie 1
Punkt porusza się w jednej płaszczyźnie.
Znaleźć:
1) równanie toru punktu,
2) położenie punktu w chwili początkowej,
3) prędkość i przyspieszenie punktu w charakterystycznych
punktach toru
jeśli równania ruchu punktu mają postać:
a) x  a sin kt
2
y  b cos kt
d) x  15t 2
b  0, k  0
b) x  bt
y  at 2
a  0, b  0
c) x  a cos kt
y  b sin kt
y  4  20t
e) x  a cosh kt
y  b sinh kt
g) x  a cos 2kt
y  b sin kt
a  0, b  0
a  0, b  0
f) x  2  4 cos 2t
y  1  5 sin 2t
1
Zadanie 2
Ciężar C przesuwany jest po pionowej prowadnicy za pomocą linki
przerzuconej przez niewielki krążek A odległy od prowadnicy o
wielkość OA=a.
O
u
A
a
Podać prędkość i przyspieszenie
ciężaru w zależności od odległości
OC=x, jeśli swobodny koniec linki
ciągnięty jest ze stałą prędkością u.
Odp.: xC  
u 2
x  a2
x
xC  
x
C
u 2a 2
x3
Zadanie 3
Pręt OA obracając się wokół nieruchomego punktu O ze stałą
prędkością kątową 0, wprawia w ruch mały pierścień P, nasunięty
na poziomo zamocowany drut d. Punkt B zamocowania drutu
znajduje się w odległości b od nieruchomego punktu O.
Znaleźć prędkość i przyspieszenie pierścienia w funkcji odciętej x.
x
d
B
P
b
O
0
2


Odp.: x  0 b 2  x 2  x  2 20 x b 2  x 2 
b
b
2
Zadanie 4
Suwak A zaopatrzony w pionowy pręt AB porusza się ze stałą
prędkością u po prostej poziomej w ten sposób, że pręt styka się w
punkcie M z nieruchomym okręgiem o promieniu r ustawionym w
płaszczyźnie pionowej.
B0
y
Wyznaczyć prędkość
i przyspieszenie
M
x
punktu M w funkcji
r

kąta . W chwili t=0
pręt zajmował
położenie A0B0.
A
Odp.: x M  u
A0
xM  0
y M  utg
yM  
u
u2
r cos3 
Zadanie 5
Pręt AB o długości l porusza się w ten sposób, że jego końce
ślizgają się po dwóch wzajemnie prostopadłych prostych.
Wyznaczyć prędkość i przyspieszenie
y
punktu M, znajdującego się w odległości a
od końca A, w zależności od położenia xA ,
B
prędkości vA i przyspieszenia aA końca A.
l
M
a
vA aA
A
x
xA
la
Odp.: x M   A
y M   A
l a
l
a l 2 x A a A   2A  a A x 3A
yM   
3
l
l 2  x2 2
xM  a A
l
ax A
l l 2  x 2A


A


3
Zadanie 6
Krzywka w kształcie półkola o promieniu r porusza się ruchem
postępowym ze stałą prędkością v0.
Znaleźć prędkość i przyspieszenie pręta
opierającego się na krzywce za pośrednictwem
rolki o promieniu  i swobodnie poruszającego
x
się w pionowej prowadnicy. W chwili
początkowej pręt zajmował najwyższe położenie.

r
v0
Odp.: x 
 02t
r   2   0t 2
x   02
r   2
r   2   0t 2 3 2
Zadanie 7
Kulka może przesuwać się w kanaliku w kształcie odcinka paraboli
o równaniu x=y2/4. Równocześnie przesuwana jest za pomocą
prowadnicy poruszającej się ze stałą prędkością 0.
Znaleźć prędkość i przyspieszenie kulki w chwili, gdy zajmuje ona
położenie określone przez współrzędną xk=4. W chwili początkowej
kulka zajmowała położenie określone współrzędną x0.
y
0
x
x0
Odp.:
x   0
x  0

y  0
x
y  
 02
2 x3
4
Zadanie 8
Końce linijki AB poruszają się po dwóch wzajemnie prostopadłych
prostych 0x i 0y, przy czym kąt =t (=const).
Podać równanie toru ruchu
y
punktu M znajdującego się w
odległościach a i b od końców
a
A
linijki oraz obliczyć jego
prędkość i przyspieszenie w
b
M
chwilach, gdy znajdzie się on na
prostych 0x oraz 0y.

B
x
yM  0
x M  0
y M  b
xM  a 2
yM  0
xM  0
xM  a
xM  0
xM  0
yM  b
y M  0
yM  b 2
y M  b y M  0
0
xM  a
Odp.:
x2 y2

1
a 2 b2
xM  a 2
x M  a xM  0
yM  0
y M  b yM  0
xM  a
xM  0
yM  b 2
Zadanie 9
Pocisk wystrzelono z prędkością początkową 0=700m/s pod kątem
1=60o do poziomu. Po jakim czasie t należy wystrzelić drugi
pocisk pod kątem 2=45o i z taką samą prędkością początkową, aby
pociski zderzyły się w locie? Na jakiej wysokości h i w jakiej
odległości l od miejsca wystrzału nastąpi zderzenie? Opór powietrza
pominąć, przyjąć przyspieszenie ziemskie g=9.81m/s2.
Odp.: t =104.5sek, h=9786m, l=36575m
5
Zadanie 10
Punkt zakreśla figurę Lissajous zgodnie z równaniami
x   a sin 2t
y   a sin t
Znaleźć promień  krzywizny toru w punkcie o współrzędnych
x=0, y=0.
Odp.: =
Zadanie 11
Punkt zakreśla figurę Lissajous zgodnie z równaniami
x  5 sin kt
y  3 cos kt
Znaleźć prędkość i przyspieszenie punktu oraz promień A krzywizny
toru w punkcie A określonym współrzędną xA=5.
Odp.: x A  0
y A  9k
xA  5k 2
yA  0
A 
81
5
6
Zadanie 12
Ruch punktu opisany jest równaniami
x  de kt
y  fe  kt
d , f , k  0
Znaleźć równanie toru w postaci y(x) oraz prędkość i przyspieszenie
punktu w zależności od jego położenia.
Odp.: y 
fd
x
x  kx
x  k 2 x
y   ky
y  k 2 y
Zadanie 13
W mechanizmie korbowym przedstawionym na rysunku korba OA
o długości r obraca się ze stałą prędkością kątową  wokół
nieruchomego punktu O.
Wyznaczyć położenie, prędkość i przyspieszenie tłoka B w funkcji
położenia korby określonego kątem . Stosunek długości korby do
długości l korbowodu AB wynosi r/l=k (0<k<1).
y
A

l
r
O

B
x
Odp.:
1


x B  r  sin  
1  k 2 cos 2  
k



sin 2
x B  r  cos   k

2
1

k 2 cos 2 






2
4 
xB   2 r   sin   k cos 2  k cos  
3

1  k 2 cos 2  2 



7
Zadanie 14
C
Pokazany na rysunku podnośnik
nożycowy składa się z podstawy
oraz n segmentów. Punkty A i B
podstawy ściągane są do siebie
przez siłownik hydrauliczny, którego tłok przesuwa się względem
cylindra ze stałą prędkością 0.
Obliczyć prędkość najwyższego
punktu C podnośnika w funkcji
szerokości s.
Znane są wymiary ramion a i b.
Odp.:


 
sc
s
C  0 
  2n  1
2
2
4
s
2
 b2   s  c 
a  



 2 
 2

segment n
segment i
segment 1
a
A







b
B
podstawa
c
s
8