Oprocentowanie składane

Matematyka finansowa i ubezpieczeniowa
Ćwiczenia 2
Temat:
IiE, I rok SSL
Oprocentowanie składane. Dyskontowanie składane.
1. Oprocentowanie składane polega na tym, że odsetki uzyskane w okresach poprzednich podlegają
oprocentowaniu wraz z kapitałem początkowym w okresie następnym (kapitalizacja odsetek).
K n( s ) = K 0 (1 + r ) n , n ∈ N
1.1. Kapitalizacja roczna
nk
r

K nk( s ) = K 0 1 +  , n, k ∈ N
 k
(s)
K k → ∞ = K 0 ⋅ e r n , n ∈ R+
1.2. Kapitalizacja podokresowa
1.3. Kapitalizacja ciągła
2. Dwie stopy oprocentowania składanego są równoważne, jeśli przy każdej z nich procent od dowolnego kapitału
początkowego naliczony za czas dowolnej długości n jest identyczny
K nk( s1) = K nk( s 2)
3. Efektywna stopa procentowa to taka stopa oprocentowania rocznego, która jest równoważna danej stopie
oprocentowania składanego.
3.1. Przypadek kapitalizacji rocznej
ref = r
k
3.2. Przypadek kapitalizacji podokresowej
3.3. Przypadek kapitalizacji ciągłej
r

ref = 1 +  − 1
 k
ref = e r − 1
Uwaga! Warunki oprocentowania składanego są równoważne, jeśli ich stopy efektywne są równe.
4. Wartość przyszła kapitału dla zmiennej stopy procentowej:
K n(1s +) ...+ nm = K 0 (1 + r1 ) n1 (1 + r2 ) n2  (1 + rm ) nm
5. Przeciętna stopa procentowa w okresie n:
K 0 (1 + r ) n = K 0 (1 + r1 ) n1 (1 + r2 ) n2  (1 + rm ) nm
1
stąd:
(1 + r1 )n1 (1 + r2 )n2  (1 + rm )nm  n − 1
r=


6. Dyskontowanie składane jest to obliczanie wartości kapitału początkowego dla danej wartości przyszłej
kapitału oraz dla ustalonego czasu oprocentowania n przy znanych warunkach oprocentowania składanego.
W przypadku modelu dyskontowania rocznego mamy:
K0 =
K n( s )
(1 + r ) n
Dyskonto składane (rzeczywiste, matematyczne) to różnica:
D = Kn − K0
Zatem:

1 
D ( s ) = K n( s ) 1 −
n
 (1 + r ) 
7. Pojęcie aktualizacji wartości kapitału dotyczy kapitału o wartości znanej dla ustalonego momentu i oznacza
obliczenie jego wartości na inny moment, późniejszy lub wcześniejszy.
8. Zasada równoważności kapitałów. Kapitały K1 i K2 są równoważne w momencie t, jeśli ich wartości
zaktualizowane na moment t są równe.
1