Różniczka funkcji i jej zastosowanie do obliczeń przybliżonych

Różniczka funkcji i jej zastosowanie do obliczeń przybliżonych
Autor: Tomasz Zabawa
Z pojęciem pochodnej wiąże się pojęcie różniczki. Funkcja posiadająca pochodną (właściwą) w danym zbiorze jest nazywana
funkcją różniczkowalną w tym zbiorze, ale czym jest różniczka?
DEFINICJA
Definicja 1: Różniczka funkcji
Niech x0 ∈ R i funkcja f ma pochodną właściwą w punkcie x0 .
Różniczką funkcji f w punkcje x0 nazywamy funkcję dfx0 zmiennej h określoną wzorem
dfx0 (h) = f ′ (x0 ) ⋅ h.
UWAGA
Uwaga 1:
Zauważmy, że różniczka funkcji f w danym punkcje x0 jest funkcją liniową postaci y = ah , gdzie a = f ′ (x0 ) jest stałą, a h
jest zmienną.
UWAGA
Uwaga 2:
Jeżeli funkcja f ma pochodną właściwą w punkcie x0 ∈ R, to
f ′ (x0 ) = lim
lub w innej postaci
h→0
f(x0 +h)−f(x0 )
h
f(x0 +h)−f(x0 )−f ′ (x0 )⋅h
h
h→0
lim
Zatem
f ′ (x0 ) ≈
i stąd
czyli
,
= 0.
f(x0 +h)−f(x0 )
h
f(x0 + h) ≈ f(x0 ) + f ′ (x0 ) ⋅ h,
f(x0 + h) ≈ f(x0 ) + dfx0 (h).
Przy czym błąd przybliżenia f(x0 + h) − f(x0 ) − dfx0 (h), jaki popełniamy, spełnia warunek
lim
h→0
f(x0 +h)−f(x0 )−dfx (h)
h
0
= 0,
czyli dąży do zera szybciej niż h .
Przyjrzyjmy się wzorowi
f(x0 + h) ≈ f(x0 ) + f ′ (x0 ) ⋅ h.
Oznaczmy argument x0 + h przez x. Wtedy h = x − x0 i
f(x) ≈ f(x0 ) + f ′ (x0 ) ⋅ (x − x0 ).
Prawa strona tego wzoru to przepis stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x0 , zatem interpretacją geometryczną przybliżenia
funkcji przez powyższy wzór jest przybliżenie wykresu funkcji przez styczną do wykresu tej funkcji w punkcie x0 .
Analizując powyższy wzór możemy również zauważyć, że pochodna funkcji f w punkcie x0 jest przybliżonym współczynnikiem
proporcjonalności zmiany wartości funkcji f do zmiany argumentu:
f(x) − f(x0 ) ≈ f ′ (x0 )(x − x0 ).
Liczba x − x0 jest zmianą zmiennej niezależnej (argumentu) funkcji f , zaś f(x) − f(x0 ) jest zmianą wartości funkcji
odpowiadającym zmianie argumentu x − x0 .
PRZYKŁAD
Przykład 1:
2
Wyznaczymy różniczki funkcji f(x) = 3x w punktach x1 = 1 i x2 = 4. Aby to zrobić obliczmy najpierw f ′ (1) i f ′ (4):
2
f ′ (x) = 3x ln 3 ⋅ 2x
f ′ (1) = 31 ln 3 ⋅ 2 = 6 ln 3
′
Zatem skoro dfx0 (h) = f (x0 ) ⋅ h , to
f ′ (4) = 316 ln 3 ⋅ 8 = 344373768 ln 3
df1 (h) = dfx1 =1 (h) = 6 ln 3 ⋅ h
df4 (h) = dfx2 =4 (h) = 344373768 ln 3 ⋅ h
PRZYKŁAD
Przykład 2:
−−
−
3
Za pomocą różniczki określmy przybliżoną wartość liczby √
8, 2.
−−
−
3
3
Przybliżymy wartość √
8, 2 za pomocą różniczki funkcji f(x) = √
x w punkcie x = 8, według wzoru
3
f(x) ≈ f(x0 ) + dfx0 (x − x0 ). Dlaczego w punkcie x = 8? Punkt x = 8, 2 jest niewygodny dla obliczenia √
x, wiec
3 −
zastąpimy go leżącym blisko niego na osi rzeczywistej punktem x0 = 8 bardziej wygodnym dla obliczenia √
x−
0 , bo √ 8 = 2.
3
x = 8, 2
x0 = 8
- punkt niewygodny
- punkt wygodny bliski x
3
f(x0 ) = √
8=2
1
−−
3√x2
1
1
f ′ (8) = 3 −− =
2
12
3√ 8
x − x0 = 0, 2
f ′ (x) =
3
f(x) ≈ f(x0 ) + f ′ (x0 ) ⋅ (x − x0 )
1
121
−
3 −−
8, 2 ≈ 2 +
⋅ 0, 2 =
√
12
60
PRZYKŁAD
Przykład 3:
−−
−
3
Za pomocą różniczki obliczmy w przybliżeniu wartość liczby √
7, 7.
x = 7, 7
x0 = 8
- punkt niewygodny
- punkt wygodny bliski x
3
f(x0 ) = √
8=2
1
−−
3√x2
1
1
f ′ (8) = 3 −− =
12
3√ 82
x − x0 = −0, 3
f ′ (x) =
3
f(x) ≈ f(x0 ) + f ′ (x0 ) ⋅ (x − x0 )
1
79
−
3 −−
7, 7 ≈ 2 +
⋅ (−0, 3) =
√
12
40
Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne
prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod
warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko
na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.
Data generacji dokumentu: 2015-11-04 09:08:25
Oryginalny dokument dostępny pod adresem: http://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php?
link=f315d25d78ab9f1a2c0df1969a1a0185
Autor: Tomasz Zabawa