Izz

Mechanika teoretyczna
Dynamika punktu materialnego – 1
Zadanie. Jednorodny walec o promieniu a i masie m toczy się swobodnie bez poślizgu
po równi pochyłej. Korzystając z zasady zachowania energii mechanicznej wyznaczyć
prędkość liniową osi walca w chwili, gdy opuszcza on równię. Osiowy moment
bezwładności walca wynosi ma2 /2
ω
v=0
b
H
Mechanika teoretyczna
Dynamika punktu materialnego – 2
Em = Ek + Ep
(1)
1 2
1
2
Ek = mv + Iω
2
2
(2)
Ep = mgz
(3)
vc = ω · a
(4)
vc
ω=
a
(5)
Mechanika teoretyczna
Dynamika punktu materialnego – 3
- na wysokości h, Ek = 0, ponieważ vc = 0
Em = Ep = mgh,
(6)
- natomiast w chwili opuszczenia równi Ep = 0, ponieważ h = 0
Em
1 2
1
1 ma2 vc2
3
1
2
2
2
mv
=
= Ev = mv + Iω = mv +
2
2
2
2 2 a2
4 c
(7)
Korzystając z zasady zachowania energii Em = const
mgh =
vc =
r
3
mvc2
4
r
4
gh = 2
3
(8)
1
gh
3
(9)
Dynamika punktu materialnego
Mechanika teoretyczna
Dynamika punktu materialnego – 4
Zadanie. Dla jakiego granicznego kąta α ciało o masie m nie zacznie zsuwać się po
równi pochyłej o zadanym współczynniku tarcia µ, nachylonej do poziomu pod kątem α?
µN
x
N
G
y
α
Dynamika punktu materialnego
Mechanika teoretyczna
Dynamika punktu materialnego – 5
(P
P
X = 0, G sin α − µN = 0
Y = 0, N − G cos α = 0
(
mg sin α − µN = 0
N − mg cos α = 0
(
N = mg cos α
✟ cos α
✟ sin α = µ✟
mg
mg
✟
(10)
(11)
(12)
sin α
µ=
= tg α
cos α
(13)
α = tg−1 µ
(14)
Na przykład dla µ = 0.4: α = 21.8 stopni.
Dynamika punktu materialnego
Mechanika teoretyczna
Dynamika punktu materialnego – 6
Zadanie. Z równi pochyłej, której kąt nachylenia do poziomu wynosi α stacza się bryła
obrotowa o masie m, promieniu r i momencie bezwładności J. Jaki powinien być
współczynnik tarcia między tarczą a równią, aby toczenie odbywało się bez poślizgu.
ω
b
~v
F~t
b
~
G
~
N
y
α
x
Dynamika punktu materialnego
Mechanika teoretyczna
Dynamika punktu materialnego – 7
Jeśli zachodzi toczenie ciała bez poślizgu to punkt styku z równią jest chwilowym
środkiem obrotu.
v =ω·r
(
(15)
mẍ = mg sin α − Ft
0 = N − mg cos α
(16)
Izz ϕ̈ = Ft · r
(17)
gdzie ẍ to przyspieszenie środka masy toczącego się ciała
v
r
(18)
d v
ẍ
=
dt r
r
(19)
ω=
ϕ̈ =
Izz ẍ
Ft = 2
r
(20)
Mechanika teoretyczna
Dynamika punktu materialnego – 8
Podstawiając siłę Ft do równania (16) otrzymamy przyspieszenie ẍ środka masy ciała
mgr 2 sin α
ẍ =
mr 2 + Izz
(21)
Aby toczenie ciała zachodziło bez poślizgu musi być spełniony warunek
Ft ¬ µN = µmg cos α
(22)
czyli siła potrzebna do wywołania ruchu obrotowego Ft nie może być większa od
maksymalnej siły tarcia statycznego µN (µ - współczynnik tarcia)
µ=
po uwzględnieniu zależności na
otrzymujemy
Ft
mg cos α
(23)
Izz ẍ
Ft = 2
r
(24)
Izz ẍ
¬ µmg cos α
2
r
(25)
Mechanika teoretyczna
Dynamika punktu materialnego – 9
µ­
Izz sin α
Izz ẍ
=
r 2 mg cos α
(mr 2 + Izz ) cos α
(26)
Izz
tg α
2
mr + Izz
(27)
µ­
Wprowadzając tzw. promień bezwładności (izz ) z wzoru
Izz = mi2zz
(28)
tg α
µ­
2
1 + ir2
(29)
zz
izz =
r
Izz
m
– promień bezwładności
(30)