Topologia 2014 Lista 4 (1) Udowodnic, ˙ze osrodkowa przestrzen

(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
Topologia 2014
Lista 4
Udowodnić, że ośrodkowa przestrzeń normalna nie zawiera domknietych
‘
podprzestrzeni dyskretnych mocy continuum.
Granice x ciagu punktów xn przestrzeni topologicznej X można określić w
‘
‘
podobny sposób, jak dla przestrzeni metrycznych: każde otoczenie punktu
x zawiera prawie wszystkie wyrazy xn .
Udowodnić, że jeśli każdy ciag punktów przestrzeni topologicznej X ma
‘
co najwyżej jedna granice, to X jest przestrzenia T1 ; jeśli ponadto X ma w
‘
‘
‘
każdym punkcie baze przeliczalna, to X jest przestrzenia Hausdorffa. Jeśli
‘
‘
‘
przestrzeń X jest Hausdorffa, to każdy ciag w X ma co najwyżej jedna
‘
‘
granice.
‘
Korzystajac z równoważności ośrodkowości z posiadaniem bazy przeliczal‘
nej w przestrzeniach metrycznych udowodnić, że jeśli X jest przestrzenia
‘
metryzowalna ośrodkowa, to każda podprzestrzeń Y ⊂ X też jest ośrodkowa.
‘
‘
Podaj przyklad funkcji ciaglej f : R → R (w metryce euklidesowej), która
‘
jest “na”, ale nie jest przeksztalceniem domknietym (otwartym).
‘
Sprawdzić, czy nastȩpuja̧ce wlasności sa̧ niezmiennikami homeomorfizmów:
być: podzbiorem brzegowym, w sobie gȩstym (tzn. zawartym w swoim
zbiorze pochodnym), przestrzenia̧ ciȩżaru m, przestrzenia̧ spelniajaca aksjo‘ ‘
mat oddzielania Ti .
Sprawdzić, czy nastepujace przeksztalcenia sa homeomorfizmami (w me‘
‘
‘
trykach euklidesowych):
n
(a) f : R → R dana wzorem f (x) = x , n ∈ N;
(b) f : R → f (R) ⊂ R2 dana wzorem f (x) = (x, sin x);
(c) f : [0, 1) × [0, 1) → S 1 × S 1 ⊂ R4 dane wzorem
f (x, y) = ((cos 2πx, sin 2πx), (cos 2πy, sin 2πy));
(d) f : R2 → R2 dane wzorem f (x, y) = (x + y, x − y);
(e) f : C → D określone wzorem f (x, y, z) = (x, y), gdzie
C = {(x, y, z) ∈ R3 : z = x2 + y 2 ≤ 2},
D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 2};
jaka figura jest C?
‘
‘
(f) f : P → K dane wzorem f (x, y) = (2(r − 1), φ), gdzie P = {(x, y) ∈
2
R : x = r cos φ, y = r sin φ, 1 < r < 2, φ ∈ [0, 2π)}, K = f (P ); jakimi
figurami sa P i K?
‘
(g) inwersja wzgledem sfery S n (r) = { x ∈ Rn : kxk = r}:
‘
i : Rn \ {0} → Rn \ {0}
takie, że i(x) = y wtedy i tylko wtedy, gdy y leży na pólprostej 0x
oraz kxkkyk = r2 .
(7) Pokaż, że nastepujace pary przestrzeni(z metrykami euklidesowymi) przedstawiaja
‘
‘
‘
przestrzenie homeomorficzne:
(a) dowolny okra̧g i elipsa
(b) dowolna sfera i elipsoida
(c) powierzchnia walca S 1 × [0, 1], gdzie S 1 jest okrȩgiem jednostkowym
o środku (0, 0) i pierścień cl K((0, 0), 2) \ K((0, 0), 1) na plaszczyźnie
(d) powierzchnia stożka i kolo domkniȩte na plaszczyźnie.
1
2
(8) Znajdź homeomorfizm miedzy
‘
(a) kula domknieta w przestrzeni euklidesowej (Rn , ρe ) a kostka [−1, 1]n ,
‘
‘ ‘
‘
(b) okregiem bez punktu a prosta euklidesowa,
‘
‘
‘
(c) sfera bez punktu a plaszczyzna euklidesowa.
‘
‘
‘
(9) Udowodnij, że każde dwie kule (sfery) w przestrzeni euklidesowej sa do
‘
siebie podobne (czy tak jest w dowolnej przestrzeni metrycznej?) i że
każdy odcinek w przestrzeni euklidesowej lub Hilberta l2 jest podobny do
przedzialu euklidesowego [0, 1].
(10) Udowodnij, że dowolne dwie hiperplaszczyzny k-wymiarowe w przestrzeni
euklidesowej Rn , k ≤ n, sa izometryczne.
‘
(11) Podaj przyklad przeksztalcenia jednostajnie ciaglego, które nie jest Lipschi‘
tza.
(12) Uzasadnić, że każde przeksztalcenie ciagle f : Y → Z określone na gestej
‘
‘
podprzestrzeni Y przestrzeni topologicznej X w przestrzeń Hausdorffa Z
może mieć co najwyżej jedno przedlużenie ciagle f na X.
‘
Niech X bedzie zbiorem liczb naturalnych z topologia dopelnień podzbiorów
‘
‘
skończonych. Znaleźć przeksztalcenie ciagle f : Y → Y , dla gestej pod‘
‘
przestrzeni Y ⊂ X, które ma nieskończenie wiele przedlużeń ciaglych na
‘
X.
(13) Wykazać, że jeśli f, g : X → Y sa ciagle i Y jest Hausdorffa, to zbiór
‘ ‘
{x ∈ X : f (x) = g(x)} jest domkniety w X.
‘