Rachunek zdań
Transkrypt
Rachunek zdań
Rachunek zdań 1 Algebra wartości logicznych W dwuelementowym zbiorze wartości logicznych {ff, tt} określamy działania negacji, koniunkcji, alternatywy i implikacji. Negacja to działanie jednoargumentowe ¬: {ff, tt} → {ff, tt} takie, że ¬ff = tt i ¬tt = ff. Koniunkcja, alternatywa i implikacja to działania dwuargumentowe {ff, tt}2 → {ff, tt}, określamy je za pomocą tabelki. x ff ff tt tt y ff tt ff tt x∧y x∨y x→y ff ff tt ff tt tt ff tt ff tt tt tt Zadanie 1 Oblicz wartość logiczną następujących wyrażeń: (a) ¬(ff → tt) → (ff ∧ (tt ∨ ff)), (b) ((ff ∨ tt) ∧ ¬(ff ∨ tt)) → (ff → tt), (c) (tt ∧ (tt → ff)) ∨ (ff ∨ ¬(ff → tt)). Zadanie 2 (a) Jaka jest wartość logiczna x, jeśli warość logiczna wyrażenia x → y wynosi tt dla dowolnego y ∈ {ff, tt}? (b) Jaka jest wartość logiczna y, jeśli warość logiczna wyrażenia x → y wynosi tt dla dowolnego x ∈ {ff, tt}? Zadanie 3 Wyraź: (a) implikację za pomocą alternatywy i negacji, (b) implikację za pomocą koniunkcji i negacji, (c) koniunkcję za pomocą alternatywy i negacji, (d) alternatywę za pomocą koniunkcji i negacji, (e) implikację za pomocą alternatywy i negacji, (f) implikację za pomocą koniunkcji i negacji. Zadanie 4 Czy można wyrazić implikację za pomocą alternatywy i koniunkcji? 2 Zdania złożone, wartościowanie logiczne Zadanie 5 Określ stopień zdania złożonego z i oblicz ṽ(z) dla podanego wartościowania v zdań prostych (zewnętrzne nawiasy opuszczono): (a) z = (p ∧ q) ∨ (q ∧ (p ∨ q)), v(p) = ff, v(q) = tt; (b) z = p → (p → (p → q))), v(p) = tt, v(q) = ff; (c) z = ((p ∨ (¬p)) ∧ (q ∨ (¬q))) → ((¬p) ∨ (¬q)), v(p) = tt, v(q) = tt; (d) z = ((¬(¬p)) ∧ (¬(¬(¬q)))) ∨ (¬(¬(¬(¬r)))), v(p) = tt, v(q) = ff, v(r) = tt. 1 Zadanie 6 Wykaż, że dla dowolnego wartościowania zdań prostych zdania złożone: p → q, (¬q) → (¬p), (¬p) ∨ q, ¬(p ∧ (¬q)) mają tę samą wartość logiczną. Zadanie 7 Pokaż, że następujące zdania są tautologiami (niektóre nawiasy opuszczono): (a) ¬(p ∧ q) ↔ (¬p ∨ ¬q), (b) ¬(p ∨ q) ↔ (¬p ∧ ¬q), (c) ((p ∨ q) ∧ r) ↔ ((p ∧ r) ∨ (q ∧ r)), (d) ((p ∧ q) ∨ r) ↔ ((p ∨ r) ∧ (q ∨ r)), (e) ((p ∧ q) → r) ↔ (p → (q → r)). Zadanie 8 Sprawdź, które z poniższych zdań są spełnione oraz które są tautologiami. (a) (p ∨ q) ∧ (¬p ∧ ¬q), (b) (p → q) ∨ (q → p), (c) (p → q) ∧ (p → ¬q), (d) ((p ∧ q) ∨ (q ∧ r)) → ¬(p ∧ r). Zadanie 9 Niech v będzie wartościowaniem zdań prostych. Wykaż, że dla dowolnych zdań złożonych y i z: (a) jeżeli ṽ(y) = ff, to ṽ(y ∨ z) = v(z); (b) jeżeli ṽ(y) = tt, to ṽ(y ∧ z) = v(z). Zadanie 10 Niech y i z będą zdaniami złożonymi. Zauważ, że zdanie y ↔ z jest tautologią dokładnie wtedy, gdy dla dowolnego wartościowania v zdań prostych zdania y i z mają tę samą wartość logiczną (czyli zachodzi równość ṽ(y) = ṽ(z)). Zadanie 11 Niech y i z będą zdaniami złożonymi. Rozważmy zdania z1 = (y ∨ z), z2 = (y → z). Uzasadnij, że: (a) jeżeli zdanie z jest spełnione, to zdania z1 i z2 też są spełnione; (b) jeżeli zdanie z jest tautologią, to zdania z1 i z2 też są tautologiami. Zadanie 12 Niech y i z będą zdaniami złożonymi. Wykaż, że: (a) jeżeli zdanie y ∧ z jest spełnione, to zdanie z też jest spełnione; (b) jeżeli zdanie y ∧ z jest tautologią, to zdanie z też jest tautologią. Zadanie 13 Używając pojęcia zdania złożonego, podaj precyzyjne sformułowanie pytania postawionego w zadaniu 1. Zadanie 14 Czy w algebrze wartości logicznych można wyrazić: (a) działanie alternatywy za pomocą działań koniunkcji i implikacji, (b) działanie koniunkcji za pomocą działań implikacji i alternatywy? 2 3 Algebra zbiorów Zadanie 15 Korzystając z rachunku zdań, udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą następujące równości: (a) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C), (b) (A ∪ B) \ C = (A \ C) ∪ (B \ C), (c) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C), (d) (A ∩ B) \ C = (A \ C) ∩ (B \ C), (e) (A \ B) ∪ C = (A ∪ C) \ (B \ C), (f) (A \ B) ∩ C = (A ∩ C) \ B, (g) (A \ B) \ C = A \ (B ∪ C). Zadanie 16 Sprawdź, że dla dowolnego zbioru A zachodzą równości: (a) A ∪ ∅ = A, (b) A ∩ ∅ = ∅, (c) A \ ∅ = A, (d) ∅ \ A = ∅. Zadanie 17 Wykaż, że dla dowolnych zbiorów A i B zachodzą następujące zależności. (a) A ∩ B = A wtedy i tylko wtedy, gdy A ⊂ B; (b) A ∪ B = B wtedy i tylko wtedy, gdy A ⊂ B. Zadanie 18 Niech A, B, C będą dowolnymi zbiorami. Udowodnij, że: (a) jeżeli A ⊂ B i B ⊂ C, to A ⊂ C; (b) jeżeli A ⊂ C i B ⊂ C, to A ∪ B ⊂ C; (c) jeżeli A ⊂ B i A ⊂ C, to A ⊂ B ∩ C. Niech X będzie dowolnym zbiorem. Jeśli A jest podzbiorem zbioru A, to symbolem ∼ A oznaczamy dopełnienie zbioru A, czyli zbiór X \ A. Zadanie 19 Uzasadnij, że dla dowolnego podzbioru A zbioru X zachodzą równości: (a) ∼ (∼ A) = A, (b) A∩ ∼ A = ∅, (c) A∪ ∼ A = X. Zadanie 20 Wykaż, że dla podzbiorów A i B zbioru X zachodzą równości: (a) A∩ ∼ B = A \ B, (b) A∪ ∼ B =∼ (B \ A), (c) ∼ (A ∩ B) =∼ A∪ ∼ B, (d) ∼ (A ∪ B) =∼ A∩ ∼ B. 3 Rozwiązania, wskazówki, odpowiedzi 1 Odpowiedź. (a) tt, (b) tt, (c) ff. 3 Rozwiązanie. (a) x → y = ¬x ∨ y, (b) x → y = ¬(x∧ 6= y). 4 Wskazówka. 0 → 0 = 1. 6 Wskazówka. Ułóż tabelkę z rubrykami: v(p), v(q), ṽ(¬p), ṽ(¬q), ṽ(p → q), . . . 8 Odpowiedź. (a) nie jest spełnione, nie jest tautologią; (b) jest spełnione, jest tautologią; (c) jest spełnione, nie jest tautologią; (d) jest spełnione, nie jest tautologią. 9 (a) Rozwiązanie. Jeżeli ṽ(y) = ff, to ṽ(y ∨ z) = ṽ(y) ∨ ṽ(z) = v(y) ∨ v(z) = ff ∨ v(z) = ff. 11 Rozwiązanie. z1 = (y ∨ z), z2 = (y → z). (a) Jeżeli zdanie z jest spełnione, to istnieje wartościowanie v zdań prostych, dla którego ṽ(z) = tt. Wówczas ṽ(z1 ) = ṽ(y ∨ z) = ṽ(y) ∨ ṽ(z) = ṽ(y) ∨ tt = tt, czyli zdanie z1 jest spełnione. Analogicznie pokazujemy, że zdanie z2 jest spełnione. (b) Jeżeli zdanie z jest tautologią, to dla dowolnego wartościowania v zdań prostych wartość logiczna zdania z wynosi tt, czyli zachodzi równość ṽ(z) = tt. Wówczas dla dowolnego wartościowania v zdań prostych mamy ṽ(z2 ) = ṽ(y → z) = ṽ(y) → ṽ(z) = ṽ(y) → tt = tt, czyli zdanie z2 jest tautologią. Analogicznie pokazujemy, że zdanie z1 jest tautologią. 15 (g) Rozwiązanie. Dla dowolnego elementu x mamy x ∈ (A \ B) \ C ≡ x ∈ (A \ B) ∧ ¬(x ∈ C) ≡ (x ∈ A ∧ ¬(x ∈ B)) ∧ ¬(x ∈ C) ≡ x ∈ A ∧ (¬(x ∈ B) ∧ ¬(x ∈ C)) ≡ x ∈ A ∧ ¬(x ∈ B ∨ x ∈ C) ≡ x ∈ A ∧ ¬(x ∈ B ∪ C) ≡ x ∈ A \ (B ∪ C). Piotr Jędrzejewicz, Ćwiczenia ze wstępu do matematyki dla informatyków, I rok informatyki, jesień 2002. Rachunek zdań, wersja trzecia, 12 II 2003. 4