Zagadnienia na egzamin z algebry liniowej 1. Odwzorowanie liniowe

Zagadnienia na egzamin z algebry liniowej
1. Odwzorowanie liniowe -definicja i przyklady
2. Twierdzenie o jednoznaczności odwzorowania liniowego.
3. Ja̧dro i obraz odwzorowania liniowego (tw. o postaci).
4. Twierdzenie o wymiarach ja̧dra i obrazu.
5. Macierz odwzorowania liniowego. Twierdzenie o postaci
odwzorowania liniowego i o rzȩdzie macierzy.
6. Twierdzenie o zmianie macierzy odwzorowania przy zmianie baz.
7. Dzialania na przeksztalceniach.
8. Warunki odwracalności odwzorowania liniowego.
9. Zwia̧zek dzialań na odwzorowaniach z dzialaniami na macierzach.
10. Wartości i wektory wlasne odwzorowania liniowego i macierzy.
11. Tw. o liniowej niezależności wektorów wlasnych.
12. Krotność algebraiczna i geometryczna wartości wlasnej.
13. Tw. o warunkach diagonalizowalności macierzy.
14. Wielomian charakterystyczny macierzy.
15. Tw. Cayley’a Hamiltona i jego zastosowanie do odwracania macierzy.
16. Iloczyn skalarny -definicja i wlasności.
17. Norma wektora i jej wlasności.
18. Tożsamość równolegloboku, nierówność Schwarza, trójka̧ta.
19. Wektory ortogonalne, tw. Pitagorasa.
20. Uklady ortogonalne i ortonormalne.
21. Algorytm ortogonalizacji Grama-Schmidta.
22. Wspólrzȩdne wektora w bazie ortonormalnej i ortogonalnej.
23. Macierze ortogonalne i ich wlasności.
24. Grupa macierzy ortogonalnych.
25. Wlasności geometryczne odwzorowań o macierzy ortogonalnej.
26. Rzut ortogonalny na podprzestrzeń - tw. o jednoznaczności.
27. Wzór macierzowy na rzut ortogonalny.
28. Metoda najmniejszych kwadratów i ”najlepsze rozwia̧zanie”
sprzecznego ukladu równań.
29. Najlepsze dopasowanie prostej.
30. Macierz symetryczna i jej wartości wlasne.
31. Ortogonalna diagonalizacja macierzy symetrycznej.
32. Forma kwadratowa i jej macierz symetryczna.
33. Postać kanoniczna formy kwadratowej.
34. Dodatnia i ujemna określoność formy kwadratowej i macierzy symetrycznej.
35. Tw. Sylvestera.