Statystyka Matematyczna Lista 2

Statystyka Matematyczna
Lista 2
1. Z pewnej populacji o rozkladzie z wartościa̧ oczekiwana̧ m oraz wariancja̧ σ 2
wylosowano ze zwracaniem dwie próby proste o liczebności 10 i 30. Dla każdej
z nich obliczono średnia̧ X̄1 i X̄2 , odpowiednio.
(a) Udowodnić, że nastȩpuja̧ce estymatory wartości oczekiwanej m sa̧ nieobcia̧żone
m̂1 = 1/2 · (X̄1 + X̄2 ),
m̂2 = 2/3 · X̄1 + 1/3 · X̄2 .
(b) Który z nich jest lepszy?
2. Niech X = (X1 , ..., Xn ) bȩdzie próba̧ z rozkladu normalnego. Dobrać stala̧ k
tak, aby funkcja
W2 = k
n−1
X
(Xi+1 − Xi )2
i=1
byla nieobcia̧żonym estymatorem wariancji σ 2 . Który z estymatorów W 2 czy
S 2 pozwala ocenić wariancjȩ z wiȩksza̧ dokladnościa̧.
3. Niech X = (X1 , ..., Xn ) bȩdzie próba̧ z rozkladu jednostajnego U(ν, ν + 1).
Sprawdzić, że estymator
n
1
1X
Xi −
Tn =
n i=1
2
jest estymatorem nieobcia̧żonym i zgodnym parametru ν.
Oszacować P (|Tn − ν| > 0.1) dla n = 50.
4. Niech x1 , x2 , ..., xn bȩdzie realizacja̧ próby prostej X1 , X2 , ..., Xn z populacji o
rozkladzie trzypunktowym
P (X = −1) = p, P (X = 0) = 0.4 − p, P (X = 1) = 0.6.
Znaleźć estymator parametru p metoda̧ momentów i sprawdzić, że jest on
estymatorem nieobcia̧żonym i zgodnym.
5. Metoda̧ momentów i metoda̧ najwiȩkszej wiarygodności wyznaczyć estymatory (a) parametru p w rozkladzie geometrycznym; (b) parametrów m i σ 2
w rozkladzie normalnym N (m, σ); (c) parametru c w rozkladzie o gȩstości
c
f (x) = 0 dla x ≤ 1 i f (x) = xc+1
dla x > 1; (d) parametru a w rozkladzie o
gȩstości f (x) = 0 dla x ∈
/ [−a, a] i f (x) = |x|
dla x ∈ [−a, a].
a2
6. Zbadać nieobcia̧żoność i zgodność estymatorów otrzymanych metoda̧ najwiȩkszej
wiarygodności (a) dla parametru λ w rozkladzie Poissona; (b) dla parametru
p w rozkladzie dwumianowym z parametrami N i p.
7. Zakladamy, że czas pracy X pewnego elementu ma rozklad wykladniczy. Metoda̧
najwiȩkszej wiarygodności oszacować wartość oczekiwana̧ czasu pracy tego elementu. Zbadać wlasności otrzymanego estymatora.
8. W jeziorze jest nieznana liczba N ryb. W celu oszacowania N zlowiono m ryb,
oznakowano je i wpuszczono do jeziora. Po pewnym czasie zlowiono ponownie
m ryb i okazalo siȩ, że k z nich jest oznakowanych. Podać oszacowanie N
uzyskane metoda̧ najwiȩkszej wiarygodności.