Zestaw zadań przygotowujących do egzaminu z Matematyki1

Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach
Wydział Finansów i Ubezpieczeń, Kierunek: Finanse i Zarządzanie w Ochronie Zdrowia
Zestaw zadań przygotowujących do egzaminu
z Matematyki1
Powtórka materiału przed egzaminem
2
Egzaminator: dr Michał Trzęsiok
e–mail: [email protected]
Termin egzaminu: 7 lutego 2017 r., s. 335A, gr. 101–102 WL
Czas pisania: około 90 minut
Terminy konsultacji: proszę sprawdzić na stronie Katedry Analiz Gospodarczych i Finansowych, czyli tutaj
3
Poniżej prezentuję obszerną listę zadań przygotowujących do egzaminu z Matematyki. Zadań na egzaminie
oczywiście będzie mniej niż w tym zestawie. Ten zestaw ma Państwu dać pewne wyobrażenie dotyczącego tego
jakiego typu zadania mogą się pojawić. Zadania na egzaminie będą podobne do tych z tego zestawu (będą
oczywiście inne, ale tego samego typu). Na egzaminie zadania mają bardzo ograniczoną część obliczeniową,
ponieważ nie muszę już sprawdzać, czy potraficie Państwo liczyć elementy potrzebne w matematyce – zrobiliśmy
to bardzo dokładnie na zaliczeniu ćwiczeń. Do egzaminu podchodzą wyłącznie osoby z pozytywną oceną
z zaliczenia.
Zadanie 1. Dane są macierze:
"
A=
#
−2 3 0
,
−1 1 7


3 −1 −1


B = −5 2 −2 ,
0
4 −1


−2 0


C = −1 6 .
−5 1
Wskaż i uzasadnij, które działania są wykonalne:
a) CT + A · B,
B−1 − 2C · A,
b)
c)
C + AT · B.
Zadanie 2. Dane są macierze:


5 −1


A = 3 2  ,
0 1
"
B=
#
4 −4 1
,
−3 0 2


2 −2 −1


3 −1 .
C= 0
−1 5 −1
Określ jaki wymiar będzie miała macierz będąca wynikiem działania:
a)
b) C−1 · A + 3BT .
2AT · C · BT ,
Zadanie 3. Macierz


8 −4 −1


A = 0 2 −5
0 0 −1
jest
a)
diagonalna,
b)
c)
symetryczna,
trójkątna,
d)
jednostkowa.
1
Zestaw dostępny na stronie: http://web2.ue.katowice.pl/trzesiok/zestawEGZAMINmat.pdf
2
Ten zestaw jest sponsorowany przez LATEX’owe symbole [\Bart i \Left\Maggie]:
3
Gdyby wskazane terminy komuś z Państwa nie odpowiadały, to zachęcam do indywidualnego umawiania się na konsultacje!
1
Zadanie 4. Wyznacznik


3 −4 0 −2
−1 0 −5 4 


det 

 4
1
0 −1
0
2 −2 −2
jest równy


a)


b)


3 −4 −2
3 −4 −2




4 ,
5 · det 4 1 −1 + 2 · det −1 0
4
1 −1
0 2 −2


c)


3 −4 −2
3 −4 −2




4 ,
− 5 · det 4 1 −1 − 2 · det −1 0
4
1 −1
0 2 −2


3 −4 −2
3 −4 −2




4 .
4  + 2 · det −1 0
5 · det −1 0
4
1 −1
0
2 −2


2 0 −1


Zadanie 5. Sprawdź, czy istnieje macierz odwrotna do macierzy A = 0 3 −1 . Odpowiedź uzasadnij.
4 1 0




1 −1 0
6 2 −1




Zadanie 6. Sprawdź, czy macierz B =  5 2 −1 jest macierzą odwrotną do A = 0 3 −1 .
5 0 −2
15 5 −3
Zadanie 7. Sprawdź, czy




x1
a
x  

b
 2 

X= =
,
x3  5 − 3a + b
1 + 2a − b
x4
gdzie a, b ∈ R,
jest rozwiązaniem ogólnym układu równań



7x1 − 9x2 + x3 − 2x4 = 3
−x1 − 3x2 − x3 − x4 = −6 .


−2x1 + 4x2
+ x4 = 1
Zadanie 8. Rozwiązaniem ogólnym pewnego układu równań jest




x1
1 + 5a
  

a ,
X = x2  = 
x3
−3 + 4a
gdzie a ∈ R,
Zapisz rozwiązanie bazowe tego układu równań.
Zadanie 9. Czy macierz uzupełniona

1 1

U = 0 −1
0 0
0
0
0

2 | 0

−4 | 1 
5 | 0
reprezentuje układ sprzeczny? Jeśli tak, to wskaż równanie sprzeczne.
2
Zadanie 10. Dana jest funkcja
5x2
f (x) = √
+ 3 ln(x2 + 4x).
x+6
Wyznaczając dziedzinę naturalną f wystarczy założyć, że
a)
x + 6 ­ 0 i x2 + 4x > 0,
b) x + 6 > 0 i x2 + 4x 6= 0,
c)
x + 6 > 0 i x2 + 4x > 0,
d) x + 6 6= 0 i x2 + 4x ­ 0 i x 6= 0.
Zadanie 11. Dane są funkcje:
f (x) = x2 − 3x + 1,
g(x) =
6 − 9x
,
x+2
oraz funkcja h(x) = f (g(x)) będąca złożeniem funkcji f z funkcją g. Wartość funkcji h w punkcie x = 0
[czyli h(0)] jest równa:
a)
− 1,
b)
3,
c)
d)
1,
żadna z odpowiedzi a) – c).
Zadanie 12. Dana jest funkcja f : R −→ R i wiadomo, że
f (−2) = −3,
f (0) = 1,
f (3) = 15.
Na podstawie podanych informacji można powiedzieć, że
a) f jest malejąca,
b)
f jest rosnąca,
c)
nie można określić monotoniczności f.
Zadanie 13. Pochodna funkcji
f (x) = sin x · ex
jest równa
a)
cos x · ex ,
b)
− cos x · ex + sin x · ex ,
c)
cos x · ex + sin x · ex ,
d)
żadna z odpowiedzi a) − c).
Zadanie 14. Pochodna funkcji
f (x) = ln(x3 + 4x − 5)
jest równa
a)
c)
3x2 + 4
,
x
1
· (x3 + 4x − 5) + (3x2 + 4) · ln x,
x
b)
3x2 + 4
,
x3 + 4x − 5
d)
żadna z odpowiedzi a) − c).
Zadanie 15. Mając daną funkcję f oraz jej pochodną f 0 :
f (x) = −x −
4
,
x−2
f 0 (x) =
−x2 + 4x
,
(x − 2)2
sprawdź, czy x0 = 4 jest punktem stacjonarnym f . Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 16. Mając daną funkcję f oraz jej pochodną f 0 :
3
f (x) = x4 − 2x3 − 4,
4
f 0 (x) = 3x2 (x − 2),
sprawdź, czy w punkcie stacjonarnym x0 = 2 funkcja f ma ekstremum lokalne. Jeśli tak, to określ, czy jest
to maksimum, czy minimum lokalne.
3
Zadanie 17. Wiadomo, że
f 0 (x) > 0.
^
x∈(−1,5)
Co można powiedzieć o monotoniczności f w przedziale (−1, 5). Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 18. Na podstawie informacji, umieszczonych w poniższej tabeli, z badania pierwszej pochodnej
funkcji f , określ czy f ma ekstremum lokalne. Jeśli tak, to w jakim punkcie i czy jest to maksimum, czy
minimum lokalne?
x
f0
f
(−∞, −2)
+
−2
X
X
(−2, 0)
−
0
0
(0, ∞)
+
Zadanie 19. Mając daną funkcję f oraz jej drugą pochodną f 00 :
1
1
f (x) = − x5 − x4 + 4x − 1,
5
3
f 00 (x) = −4x3 − 4x2
sprawdź, czy x0 = 1 jest punktem w którym f może mieć punkt przegięcia (czy x0 = 1 jest punktem
„podejrzanym o przegięcie”). Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 20. Mając daną funkcję f oraz jej drugą pochodną f 00 :
f (x) = −
3 5 5 4
x − x − x + 2,
10
2
f 00 (x) = −6x2 (x + 5)
sprawdź, czy w punkcie podejrzanym x0 = 0 funkcja f ma punkt przegięcia. Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 21. Wiadomo, że
f 00 (x) < 0.
^
x∈(−4,3)
Co można powiedzieć o wypukłości i wklęsłości f w przedziale (−4, 3). Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 22. Na podstawie informacji, umieszczonych w poniższej tabeli, z badania drugiej pochodnej
funkcji f , określ czy f ma punkt przegięcia i w jakich przedziałach jest wklęsła.
x
f 00
f
(−∞, −3)
+
Zadanie 23. Całka nieoznaczona
−3
0
(−3, 1)
+
1
0
(1, ∞)
−
Z
2 sin(x + 5) dx
jest równa
a)
2(x + 5) · cos x + c,
b)
(x + 5) − 2 cos x + c,
c)
− 2 cos(x + 5) + c,
d)
żadna z odpowiedzi a) − c).
Zadanie 24. Całka nieoznaczona
Z
(4x −
1
3
+ 2 ) dx
x x
jest równa
a)
c)
1
6
− 3 + c,
2
x
x
1
3
2
2x + 2 − 3 + c,
x
x
4+
4
3
+ c,
x
b)
2x2 − ln |x| −
d)
żadna z odpowiedzi a) − c).
Zadanie 25. Wiedząc, że
Z
Z2
oblicz całkę oznaczoną
√
0
√
p
2x
dx = 2 x2 + 1 + c,
x2 + 1
2x
dx.
x2 + 1
Zadanie 26. Pole figury zawartej pomiędzy liniami przedstawionymi na rysunku
6
y = −x2 + 2x + 2
@
@
@
@
@
@ y = −x + 2
@
@
jest równe
Z3 a)
Z3 x2 − 3x dx, b)
Z3 −x2 + 3x dx, c)
żadna z odp. a)–c).
0
0
0
−x2 + 2x + 2 dx, d)
Zadanie 27. Gradient funkcji
f (x, y) = 3x4 − 7x2 y − y 3
jest równy
#
"
#
"
"
12x3 − 14xy
,
b) ∇f =
−7x2 − 3y 2
12x3 − 7x2
,
a) ∇f =
−7x2 − 3y 2
c)
#
12x3
.
∇f =
−3y 2
Zadanie 28. Dla danych pochodnych cząstkowych pierwszego rzędu funkcji f :
fx0 (x, y) = −x + 2y + 3,
fy0 (x, y) = −3y 2 − 16y + 2x − 6,
hesjan funkcji f jest równy:
"
a)
−1
2
H=
−6y − 16 2
#
"
−1 + 2y
−x + 2
b) H =
−x + 2 −6y − 16 + 2x
#
"
c)
#
−1
2
H=
2 −6y − 16
Zadanie 29. Dla danych pochodnych cząstkowych funkcji f :
fx0 (x, y) = 3x2 + 3y 2 − 15,
fy0 (x, y) = 6xy − 12,
sprawdź, czy P0 = (1, 2) jest punktem stacjonarnym funkcji f . Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 30. Dla podanego hesjanu funkcji f :
"
−3y
1
Hf =
1
−2x
#
zbadaj, czy w punkcie stacjonarnym P0 = (1, 3) istnieje ekstremum lokalne funkcji f . Jeśli tak, to podaj
jakie to ekstremum (minimum, czy maksimum).
Zadanie 31. (Zadanie za większą liczbę punktów) Wyznacz wszystkie ekstrema lokalne funkcji
f (x, y) = −x3 − 8y 3 + 6xy − 1.
c 2017 Joanna i Michał Trzęsiok
Copyright 5