2 1 4 3 3 5 3537 6 ¢ 0 0 0ed 0ed 0 gi h £qprts uuvvw

http://www.ii.uni.wroc.pl/~pwo/Moal/moal-lista4.pdf
Ćwiczenia i pracownia
z METOD OBLICZENIOWYCH ALGEBRY LINIOWEJ
Lista nr 4
12 marca 2009 r.
Ćwiczenia (s. 103): 19 marca
L4.1. Podaj ogólną postać kwadratowej macierzy ortogonalnej stopnia .
L4.2. Podaj ogólną postać macierzy permutacji
.
L4.3. Niech dana będzie macierz obrotu Givensa
oraz macierz odbicia Householdera "!!#
! # !%$
-, -, (zob. poprzednie zadanie), i
gdzie !'&)(+* . Udowodnij, że macierze
onalne. Mając wyznaczoną macierz
mnożeń. Czy można obliczyć iloczyn
Czy jest to sposób szybszy?
L4.4. Niech dana będzie macierz
/10
+.
są ortog, aby obliczyć iloczyn
trzeba wykonać
bez wyznaczania jawnej postaci macierzy ?
7
32465 7 8
8 9 :<;=?>
0
/ JLK
&@(BADCEA , aby element F macierzy I Jak należy dobrać macierz obrotu Givensa
AHG
FNMPORQ był równy S ?
, 0
-,
K
T U!V!W# &X( AYCEA i wektor L4.5. Niech dane będzie przekształcenie Hausholdera
7 Q # . Jak dobrać !?&Z( A , aby wektor był postaci ! # !
5$ $
24\[ S
&Z(_^`
S ;= ] [
L4.6. Udowodnij, że macierz a &6(_*bCc* jest ortogonalna wtedy i tylko wtedy, gdy dla wszystkich !
$ed &Z( * zachodzi
] a !f^ # a d ! # d >
L4.7. Niech dana będzie macierz diagonalna g &Z(h*bCc* . Oblicz iji gkiji , iji gliji . , iji gliji m , iji gkiji n .
G
/
L4.8. Oblicz wskaźnik uwarunkowania macierzy
5
5
,
względem norm ijiciji , ijiEiji . , iji iji m i ijiEiji n /
G,
,
/
/
/
L4.9. Niech dane będą: wektor &?( * , macierz &?( *WCc* i macierz ortogonalna a &<( *bCc* .
/ iji iji ;K b) iji a iji iji a iji iji iji ; c) iji a\iji .
Udowodnij, że: a) iji a iji .
.
.
.
.
./ 0 5
/
L4.10. Niech dana będzie macierz
MPO
Q & / ( *WCc* i macierz/ nieosobliwa I / & ( *bCc * . Ślad
/
MM.
*
macierzy definiujemy jako sumę jej elementów przekątniowych, trace ^
M
]
G
trace I
Udowodnij, że: a) trace I / ^
] ^ ; b) trace/ ] I I
G ^ / trace ] ^ / .
/
/ / ]
L4.11. Niech dana będzie macierz &?( *WCc* i macierz ortogonalna a &k( *bCc* . Udowodnij, że
iji iji m trace ] # ^ , a następnie wywnioskuj, że/ iji a iji m iji a iji m iji iji m .
L4.12. Mówimy, że macierz I jest podobna do macierzy
/ &6( *bCc* , jeśli istnieje taka nieosobliwa
macierz , że
G /
I
>
/
Udowodnij, że macierze
i I mają takie same wartości własne. Czy znając wektory
własne macierzy łatwo wyznaczyć wektory własne macierzy I ?
/ rozkład SVD macierzy ortogonalnej a &6( Cc* ?
L4.13. Jak wygląda
/
/
# , gdzie i są ortogonalne,
L4.14. Niech
a
.
G .$
>R>R > %$ &" !#"( G !# #" , gdzie
) będzie rozkładem SVD macierzy &6( Cc* . Niech !$ #" $
>R>R!> #" '
/ , a macierze !#" i !#" utworzone są z ( pierwszych kolumn
.
G
$ $ >R>R> $
– odpowiednio – macierzy i . Udowodnij,/ że: /
/
* ] %&" ^ ( ;
a) ) / / !#"
/
I6iji . ; / /
b) dla każdej macierzy I rzędu ( zachodzi iji j
i
i
j
i
i
.
,
+
!
#"
iji m + iji I6iji m .
c) dla każdej macierzy I rzędu ( zachodzi iji
!#" iji ?
/
Jaka jest interpretacja nierówności z punktów b) i c)? Ile wynosi norma iji .
L4.15. Macierz nazywamy macierzą (kolumnowo) stochastyczną, jeśli wszystkie jej elementy
są nieujemne oraz suma elementów w każdej kolumnie jest równa 1. Udowodnij, że
każda taka macierz ma wartość własną równą 1. A co z macierzami wierszowo stochastycznymi?
/
MPO
5 $ $ >R>R> $ L4.16. Niech będzie dana sieć WWW, w której strony oznaczane są liczbami
, gdzie
nazywamy macierzą
jest równe liczbie stron w rozpatrywanej sieci. Macierz
połączeń, gdy
gdy strona 0 wskazuje na stronę
.
#/
1
1
2
gdzie
oznacza liczbę odnośników wychodzących ze strony 0 . Załóżmy, że macierz
posiada wartość własną równą 1, a odpowiadający jej wektor własny o sumie elementów
równej 1 jest wyznaczony jednoznacznie. Współrzędną
wektora jest nazywamy
„ważnością” strony 0 . Udowodnij, że przy powyższych założeniach ważność stron nie
zależy od ich numeracji.
O
MPO * SG
>> >
,
2
O
$
,
/
L4.17. Udowodnij, że iloczyn macierzy kolumnowo stochastycznych jest również macierzą tego
typu.
/
L4.18. Załóżmy, że w rozpatrywanej sieci WWW nie ma stron, które nie są wskazywane przez
żadną inną stronę (macierz połączeń nie ma zerowych kolumn). Udowodnij, że jeśli taka
sieć WWW składa się z ( rozłącznych podsieci, to przestrzeń
wektorów własnych
odpowiadających wartości własnej 1 jest co najmniej ( wymiarowa.
G] ^
Paweł Keller & Paweł Woźny
3