3. Stopy przeciętne i inflacja

Matematyka finansowa - zestaw 3 - teoria
Zmienna stopa procentowa i inflacja.
Przeciętną stopą procentową w danym okresie (np. roczną) w czasie 𝑡 nazywa
się stopę 𝑟𝑝𝑟𝑧 o danym okresie, przy której kapitał początkowy generuje w czasie 𝑡 z
ka-pitalizacją zgodną odsetki o takiej samej wartości, jak przy zróżnicowanych stopach
w poszczególnych okresach. Należy zwrócić uwagę, że aby stosować podstawowy wzór
na przeciętną stopę procentową okres kapitalizacji musi być równy okresowi stóp, które
wstawiamy do tego wzoru i jednocześnie okresowi stopy, która jest wynikiem.
Jeśli mamy dane stopy obowiązujące w różnych okresach trwania lokaty, o podanym
różnym okresie, chcąc obliczyć przeciętną stopę procentową, musimy najpierw uzgodnić
okresy stopy (za pomocą stopy względnej, jeśli okres kapitalizacji jest stały). Jeśli chcemy
liczyć przeciętną stopę zwrotu, a okres kapitalizacji się zmienia, musimy uzgodnić wszystkie okresy za pomocą stóp efektywnych/równoważnych. Jeśli chcemy potem przeliczyć
np. przeciętną kwartalną stopę zwrotu na przeciętną roczną stopę zwrotu lub na odwrót,
również musimy skorzystać ze wzoru na stopy efektywne/równoważne (gdyż zmieniamy
okres kapitalizacji).
Inflacją nazywamy spadek nabywczej siły kapitału w czasie. Okresowa stopa inflacji
wyraża wzrost poziomu cen towarów i usług w danym okresie oznaczanym przez OI. Jako,
że wzrost cen kumuluje się z wzrostami cen z poprzednich okresów, modelem opisującym
zmiany inflacyjne jest model oprocentowania złożonego przy stopach zmiennych w czasie.
W praktyce oznacza to, że zmieniając okres inflacji, musimy przeliczyć stopę inflacji
wzorami na stopy efektywne/równoważne i zawsze dla stóp inflacyjnych (𝑂𝑆 = 𝑂𝐼) czyli nie ma czegoś takiego jak inflacja niezgodna.
Nominalna wartość kapitału to wartość obserwowana w rzeczywistości. Stopy wyrażające zmiany nominalnej wartości kapitału nazywamy nominalnymi (nie nalezy mylić
dwóch pojęć słowa: nominalny - nieuwzględniający inflacji oraz nominalny - nieuwzględniający kapitalizacji - tutaj używamy w tym pierwszym znaczeniu, zazwyczaj w tym
drugim). Z kolei, po wyeliminowaniu czynnika inflacji, otrzymamy realne stopy procentowe i zmiany realnej wartości kapitału, czyli wartości kapitału zaktualizowanej
na ustalony moment w czasie o czynnik inflacji. Warto zwrócić uwagę, że wzór łączący
stopy realne i nominalne wcale NIE wygląda tak: 𝑟𝑛𝑜𝑚 = 𝑟𝑟𝑒 + 𝑖.
Stopy realne są zawsze stopami zwrotu. Zatem zmiany ich okresów powodują, że stosujemy wzory na stopy efektywne/równoważne. Podobnie stopa nominalna (nieuwzględniająca inflacji) używana do ich obliczania jest stopą efektywną (kolizja nazw niestety...)
Proces uwzględniania inflacji w wartościach nominalnych nazywamy indeksacją lub
waloryzacją.
Kilka wzorów do zapamiętania
𝑛1 , 𝑛2 , . . . , 𝑛𝑝 - liczba okresów kapitalizacji w których obowiązywały efektywne stopy
𝑟1 , 𝑟2 , . . . , 𝑟𝑝 . 𝑛 = Σ𝑝𝑖=1 𝑛𝑖 . Kapitalizacja prosta: 𝑟𝑝𝑟𝑧 = 𝑛1 𝑟1 +𝑛2 𝑟𝑛2 +...+𝑛𝑝 𝑟𝑝 .
Kapitalizacja złożona (w przypadku kapitalizacji niezgodnej wszystkie stopy to stopy
efektywne √ o
okresie
takim,
jaki
jest
okres
stopy):
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑝
1
2
1 + 𝑟𝑝𝑟𝑧 = (1 + 𝑟1 ) (1 + 𝑟2 ) ⋅ . . . ⋅ (1 + 𝑟𝑝 ) . Zauważmy, że po obu stronach równania powinniśmy mieć stopy z tym samym okresem i z tym samym okresem kapitalizacji
(najlepiej je przeliczyć na 𝑂𝑆 = 𝑂𝐾). Jeśli chcemy mieć po obu stronach równania różne
okresy kapitalizacji, musimy stosować wzory na stopy efektywne.
Jeśli całkowita stopa zwrotu z danej inwestycji trwającej 𝑁 okresów kapitalizacji wyniosła
𝑅 (okres tej stopy=𝑁 OK), to przeciętna√stopa zwrotu z tej inwestycji przypadająca na
jeden okres kapitalizacji wynosi: 𝑟𝑝𝑟𝑧 = 𝑁 1 + 𝑅 − 1. Oczywiście OS 𝑟𝑝𝑟𝑧 = 𝑁1 OS 𝑅.
Kapitalizacja ciągła: 𝑟𝑝𝑟𝑧 = 𝑡1 𝑟1 +𝑡2 𝑟2𝑡+...+𝑡𝑝 𝑟𝑝 , gdzie 𝑡1 , . . . , 𝑡𝑝 to długości okresów, w
których obowiązywały stopy 𝑟1 , 𝑟2 , . . . , 𝑟𝑝 .
1
2
𝑖 - stopa inflacji. Przy danej „inflacyjnie nominalnej” (tj. nieuwzględniającej inflacji, ale
tak naprawdę efektywnej) stopie zwrotu 𝑟, realną stopę procentową 𝑟𝑟𝑒 można wyprowadzić
𝑟−𝑖
z równania: (1 + 𝑟) = (1 + 𝑟𝑟𝑒 )(1 + 𝑖) (wzór Fishera). Stąd 𝑟𝑟𝑒 = 1+𝑖
.
W zadaniach najbezpiecznie jest NIGDY nie przekształcać realnej stopy procentowej (np.
zmieniając jej okres, licząc efektywną itp. - wzory na to są inne i bardziej skomplikowane
niż w wypadku zwykłych stóp nominalnych). Lepiej liczyć na stopach „nominalnych” i
tuż przed końcem (albo zaraz na początku) zadania dokonać przeliczenia między stopami
realnymi a nominalnymi. Dodatkowo pamiętamy, że okres stopy inflacji jest jednocześnie
jej „okresem kapitalizacji” (cudzysłów wynika z tego, że inflacja niczego nie kapitalizuje
- wręcz przeciwnie, ale z punktu widzenia czystych obliczeń działa tak samo). Dlatego
nigdy nie używamy stopy względnej przy zmianie okresu inflacji - z okresem stopy zmienia
się zawsze „okres kapitalizacji”.
Jeszcze raz podkreślę - we wzorze Fishera stopa 𝑟 jest stopą zwrotu - jeśli wynika ona
ze zmian wartości kapitału na jakiejś lokacie, nie bierzemy nominalnej stopy procentowej
tej lokaty, lecz stopę efektywną o odpowiednim
okresie.
√
𝑛
Przeciętna stopa inflacji - wzór: 1 + 𝑖𝑝𝑟𝑧 = (1 + 𝑖1 )𝑛1 (1 + 𝑖2 )𝑛2 ⋅ . . . ⋅ (1 + 𝑖𝑝 )𝑛𝑝 . Uwaga
taka sama, jak przy analogicznym wzorze na przeciętną stopę zwrotu. Jeśli całkowita
stopa inflacji w czasie 𝑁 okresów inflacji wyniosła 𝑖𝑐 (okres tej stopy=𝑁 OI), to przeciętna
stopa √ inflacji
przypadająca
na
jeden
okres
inflacji
wynosi:
𝑖𝑝𝑟𝑧 = 𝑁 (1 + 𝑖1 )𝑛1 (1 + 𝑟2 )𝑛2 ⋅ . . . ⋅ (1 + 𝑟𝑝 )𝑛𝑝 − 1. Oczywiście OS 𝑖𝑝𝑟𝑧 = 𝑁1 OS 𝑖𝑐 .
𝐾(1 + 𝑖) - kapitał po pełnej indeksacji (waloryzacji).