2. Przeciętna stopa procentowa i inflacja

Matematyka finansowa - zestaw 2 - teoria
Zmienna stopa procentowa i inflacja.
Przeciętną stopą procentową w danym okresie (np. roczną) w czasie 𝑡 nazywa się
stopę 𝑟𝑝𝑟𝑧 o danym okresie, przy której kapitał początkowy generuje w czasie 𝑡 z kapitalizacją zgodną odsetki o takiej samej wartości, jak przy zróżnicowanych stopach w
poszczególnych okresach.
Jeśli mamy dane stopy obowiązujące w różnych okresach kapitalizacji, o podanym różnym
okresie, chcąc obliczyć przeciętną stopę procentową, musimy najpierw uzgodnić okresy
stopy (za pomocą stopy względnej). Jeśli chcemy potem przeliczyć np. przeciętną stopę
kwartalną na przeciętną stopę roczną lub na odwrót, musimy skorzystać ze wzoru na
stopy efektywne/równoważne (gdyż zmieniamy okres kapitalizacji).
Inflacją nazywamy spadek nabywczej siły kapitału w czasie. Okresowa stopa inflacji
wyraża wzrost poziomu cen towarów i usług w danym okresie. Jako, że wzrost cen kumuluje się z wzrostami cen z poprzednich okresów, modelem opisującym zmiany inflacyjne
jest model oprocentowania złożonego przy stopach zmiennych w czasie.
Nominalna wartość kapitału to wartość obserwowana w rzeczywistości. Stopy wyrażające zmiany nominalnej wartości kapitału nazywamy nominalnymi (nie nalezy mylić
dwóch pojęć słowa: nominalny - nieuwzględniający inflacji oraz nieuwzględniający kapitalizacji - tutaj używamy w tym pierwszym znaczeniu, zazwyczaj w tym drugim). Z kolei,
po wyeliminowaniu czynnika inflacji, otrzymamy realne stopy procentowe i zmiany
realnej wartości kapitału, czyli wartości kapitału zaktualizowanej na ustalony moment w czasie o czynnik inflacji. Warto zwrócić uwagę, że wzór łączący stopy realne i
nominalne wcale NIE wygląda tak: 𝑟𝑛𝑜𝑚 = 𝑟𝑟𝑒 + 𝑖.
Proces uwzględniania inflacji w wartościach nominalnych nazywamy indeksacją lub
waloryzacją.
Kilka wzorów do zapamiętania
𝑛1 , 𝑛2 , . . . , 𝑛𝑝 - liczba okresów kapitalizacji w których obowiązywały efektywne stopy
𝑟1 , 𝑟2 , . . . , 𝑟𝑝 . 𝑛 = Σ𝑝𝑖=1 𝑛𝑖 . Kapitalizacja prosta: 𝑟𝑝𝑟𝑧 = 𝑛1 𝑟1 +𝑛2 𝑟𝑛2 +...+𝑛𝑝 𝑟𝑝 .
Kapitalizacja złożona (w√przypadku kapitalizacji niezgodnej wszystkie stopy to stopy
względne): 1 + 𝑟𝑝𝑟𝑧 = 𝑛 (1 + 𝑟1 )𝑛1 (1 + 𝑟2 )𝑛2 ⋅ . . . ⋅ (1 + 𝑟𝑝 )𝑛𝑝 . Zauważmy, że po obu
stronach równania powinniśmy mieć stopy z tym samym okresem i z tym samym okresem
kapitalizacji (najlepiej je przeliczyć na 𝑂𝑆 = 𝑂𝐾). Jeśli chcemy mieć po obu stronach
równania różne okresy kapitalizacji, musimy stosować wzory na stopy efektywne.
Kapitalizacja ciągła: 𝑟𝑝𝑟𝑧 = 𝑡1 𝑟1 +𝑡2 𝑟2𝑡+...+𝑡𝑝 𝑟𝑝 , gdzie 𝑡1 , . . . , 𝑡𝑝 to długości okresów, w
których obowiązywały stopy 𝑟1 , 𝑟2 , . . . , 𝑟𝑝 .
𝑖 - stopa inflacji. Przy danej nominalnej (tj. nieuwzględniającej inflacji) stopie zwrotu 𝑟,
realną stopę procentową 𝑟𝑟𝑒 można wyprowadzić z równania: (1+𝑟) = (1+𝑟𝑟𝑒 )(1+𝑖) (wzór
𝑟−𝑖
Fishera). Stąd 𝑟𝑟𝑒 = 1+𝑖
. NIGDY nie przekształcamy realnej stopy procentowej (np.
zmieniając jej okres, licząc efektywną itp. - wzory na to są inne i bardziej skomplikowane
niż w wypadku zwykłych stóp nominalnych). Dodatkowo pamiętamy, że okres stopy
inflacji jest jednocześnie jej „okresem kapitalizacji” (cudzysłów wynika z tego, że inflacja
niczego nie kapitalizuje - wręcz przeciwnie, ale z punktu widzenia czystych obliczeń działa
tak samo). Dlatego nigdy nie używamy stopy względnej przy zmianie okresu inflacji - z
okresem stopy zmienia się zawsze „okres kapitalizacji”.
Jeszcze raz podkreślę - we wzorze Fishera stopa 𝑟 jest stopą zwrotu - jeśli wynika ona
ze zmian wartości kapitału na jakiejś lokacie, nie bierzemy nominalnej stopy procentowej
tej lokaty, lecz stopę efektywną o odpowiednim
okresie.
√
𝑛
Przeciętna stopa inflacji - wzór: 1 + 𝑖𝑝𝑟𝑧 = (1 + 𝑖1 )𝑛1 (1 + 𝑖2 )𝑛2 ⋅ . . . ⋅ (1 + 𝑖𝑝 )𝑛𝑝 . Uwaga
taka sama, jak przy analogicznym wzorze na stopę przeciętną.
𝐾(1 + 𝑖) - kapitał po pełnej indeksacji (waloryzacji).
1
2